素数谜题的综合思路与求解（浓缩版）.PDF

《素数谜题的综合思路与求解》（浓缩版） 西安石油大学 冯军刚 素数谜题求解的根本出路，是要揭开素数在数轴上的分布规 律。但这个规律既无法直接表述，也没有所希望的那么简单，它 是通过一个、一个、又一个简单的合数分布规律、叠加、渗透在 一起眏衬出来的。一旦揭开了这个谜，素数在数轴上的分布状态 便心知肚明、有章可循了；一个个素数谜题便迎刃而解了。 【1】.自然数序列是由1、素数、合数这三类数字，互补排 列而成的。所以要弄清其中似乎无序排列的素数之分布状态，必 须从有序排列的 1 和合数入手。 【2】.合数被定义为两个和两个以上素数的乘积。那么不大 于 的合数，其最小的素因子、一定是不大于 的那 个素数 中的某一个 。所以，在[ 0 ,x ] 上，筛除掉这 个 之整倍数及 1，再补回这 个素数 ，就得到了[ , ]上的全部素数,其数目 用 表示。 比如在[0,100]上，筛掉小于 的素数 2、3、5、7 之整 倍数及 1，再补回 2、3、5、7，就得到小于 100 的全部素数，其 数目为 。在这里，形成筛网的 个 及其最大的 、 与 的关系是： 1 / 9 、 （1） 【3】. 要想知道偶数 存在着多少对“素分割对”？不妨 先看看偶数 存在着多少对“整分割对”。 很容易发现：当 为任意偶数时，在数轴上 点的两边、位 置关于 点对称的两个整数 和 之和、都等于 ，它 们就被定义为偶数 的一对“整分割对”。包括“ + ”这一对 在内，它们共有 对。而其中的“奇分割对”至少也有 对。 其 “素分割对”就隐身于这 对 “奇分割对”之中。 【4】. 要想知道偶数 的 对“奇分割对”中，到底有多 少对是“素分割对”？我们只需筛掉、其中含有奇素数 整倍 数的那些奇分割对、即可知道。 用每个奇素数 筛除时，若 能够被该 整除，则其筛除 点的分布必然关于 点对称，如此以来，构成“奇分割对”的两 个奇数、要么同被该 筛掉；要么同被保留下来，因此，用该 筛 除时，只需单筛即可，即其筛除率取 即可。若 不能够被 该 整除，则用该 筛除、必须“双筛”，即筛掉该 的每个 整 倍数的同时、需人为地株连掉那个与它构成了“奇分割对”的数。 这只需要将筛除率取为 即可实现。 作为适用于任意偶数 的通用公式，就不便再区分“单筛” 与 “双筛”，用每个 筛除，一律采用最保守的“双筛”法、 2 / 9 筛除率一律取 。只要最后能够得到“素分割对”数目 的 下界值即可。 【5】偶数 越大，其“素分割对”数目之下界值、是越大？ 还是越小？这是决定哥德巴赫猜想命题之命运的关键问题！而这 个关键问题的答案，主要取决于两个数据、随 变化的方向、和 变化率的大小，它们一个是筛选基数——偶数 所存在的“奇 n 分割对”数目 ；另一个则是筛选时的存留率 *