线性空间和线性变换（解答）.DOC

第1章 线性空间和线性变换（详解） 1-1 证：用表示n阶矩阵中除第行，第列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用表示n阶矩阵中除第行，第列元素与第行第列元素为1外，其余元素全为0的矩阵. 显然，，都是对称矩阵，有个.不难证明，是线性无关的，且任何一个对称矩阵都可用这n+=个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成维线性空间. 同样可证所有n阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为. 评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个维线性空间，只需找出个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这个向量线性表示即可. 1-2解: 解出即可. 1-3 解：方法一 设 即 故 于是 解之得 即在下的坐标为. 方法二 应用同构的概念，是一个四维空间，并且可将矩阵看做， 可看做.于是有 因此在下的坐标为. 1-4 解：证：设 即 于是 解之得 故线性无关. 设 于是 解之得 即为所求坐标. 1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算） 又由于 于是在基下的坐标为 方法二 将根据幂级数公式按展开可得 因此在基下的坐标为. 评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些. 1-6 解：①设 将与代入上式得 故过渡矩阵 ②设 将坐标代入上式后整理得 评注：只需将代入过渡矩阵的定义计算出. 1-7 解：因为 由于秩，且是向量的一个极大线性无关组，所以和空间的维数是3，基为. 方法一 设，于是由交空间定义可知 解之得 为任意数 于是 很显然 所以交空间的维数为1，基为. 方法二 不难知 其中.又也是线性方程组 的解空间.是线性方程组 的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组 的解空间，容易求出其基础解系为，所以交空间的维数为1，基为. 评注：本题有几个知识点是很重要的.的基底就是的极大线性无关组.维数等于秩..方法一的思路，求交就是求向量，既可由线性表示，又可由线性表示的那部分向量.方法二是借用“两个齐次线性方程组解空间的交空间就是联立方程组的解空间”，将本题已知条件改造为齐次线性方程组来求解. 1-8解: (1):解出方程组的基础解系,即是的基, 解出方程组的基础解系,即是的基; (2): 解出方程组的基础解系,即为的基; (3):设,则的极大无关组即是的基. 1-9解:仿上题解. 1-10解: 仿上题解. 1-11 证：设 ① 用从左侧成①式两端，由可得 因为，所以，代入①可得 ② 用从左侧乘②式两端，由可得，继续下去，可得，于是线性无关. 1-12 解：由1-11可知，个向量线性无关，它是的一个基.又由 所以在下矩阵表示为阶矩阵 评注：维线性空间中任何一组个线性无关的向量组都可以构成的一个基，因此是的一个基. 1-13证: 设 设 则可以证明 1-14 解：由题意知 设在基下的矩阵表示是，则 由于，故只有零解，所以的核是零空间.由维数定理可知的值域是线性空间. 1-15解:已知 (1) 求得式中的过渡矩阵,则即为所求; (2)仿教材例1.5.1.(见矩阵分析史荣昌编著.北京理工大学出版社.) 1-16解: 设,则就是齐次方程组 的解空间. 1-17证: 由矩阵的乘法定义知的主对角线上元素相等,故知的迹相等;再由1-18 题可证. 1-18证: 对k用数学归纳法证。 1-19证：设。 1-20证：设。 1-21解：设。 1-22证：设。 1-23解：仿线性代数教材例题。 1-24 证：若 即 所以 因此满足 的只能全为零，于是线性无关. 1-25 证：容易验证等式 所以线性相关. 1-26 证：先证：中的元素 是线性无关的.设 由于中是变量，所以欲使上式对于任何都成立的充分必要条件是 于是线性无关. 对于中任何一个向量（多项式） 均可由线性表出，这表明：是的基，于是是n维的. 不难验证：也是的一组基.因为 故在这组基下的坐标为 1-27 解：的核空间就是的解空间，所以的基础解系就是核空间的基.对 作初等行变换后得 因此的解为 其中为自由变量.不难知的基础解系可以取为 或 它们都可以作为的核空间的基，核空间是二维的. 1-28 解：设在所给基下的坐标为，故 即 于是有 解之得 所以在所给基下的坐标为. 1-29 解：设 于是有 解之得 所以在已给基下的坐标为. 1-30 解：因为 故由到的过渡矩阵为 1-31 解：将矩阵作初等行变换得 上式表明由基到基的关系为（为什么？） 所以由到的过渡矩阵为 设在下的坐标为，即 其中则 于是 1-32 解：由定理知 是向量组的极大无关组，故它是的