第十三讲 振动与波动大物.ppt

* §6 阻尼振动(简介) ·阻尼(damp)：消耗振动系统能量的原因。 ·阻尼种类： 摩擦阻尼 辐射阻尼 一、阻尼振动的振动方程和表达式 1.阻力 dx dt ， f阻 = - ?? = - ? ·对在流体(液体、气体)中运动的物体，当物 体速度较小时，阻力 ? 速度。 ? ：阻力系数 2.振动方程 讨论：在阻力作用下的弹簧振子 ·受力：弹性恢复力 -kx dx dt - ? 阻力 dx dt - ? d2x dt2 m = - kx ·振动方程 引入阻尼系数 ? = ? /2m 固有频率 ?0 = (k/m)1/2 得阻尼振动(damped vibration)的振动方程 d2x dt2 = 0 + ?02x + 2? dx dt ·此方程的解应分三种情形讨论： ? 2 ?02 称作欠阻尼(underdamping) ? 2 ?02 称作过阻尼(overdamping) ? 2 = ?02 称作临界阻尼(critical damping ) 3.振动表达式 在欠阻尼情形下，上述微分方程的解即欠阻尼下的阻尼振动的振动表达式，为 x(t) = A0e-? tcos(?t + ?) 其中 ? = (?02 - ? 2)1/2 (欠阻尼下) x t ? o A0e-? t 阻尼振动的振动曲线 4.振动曲线 二.阻尼振动的特点 (欠阻尼下) 1.振幅特点 ·振幅：A(t) = A0e-? t ·振动能量：E(t) = E0e-2? t 2.周期特点 位移相继两次达到正向极大值的时间间隔 T = 2? ? = 2? (?02 - ? 2)1/2 T0 (固有周期) 三、三种阻尼下的振动曲线 t o 过阻尼 欠阻尼 临界阻尼 三种阻尼 和过阻尼情形相比，临界阻尼 情形下，物体回到平衡位置并 停在那里，所需时间最短。 §7 受迫振动与共振（简介） 一、受迫振动 受迫振动(forced vibration)：振动系统在周 期性驱动力作用下的振动。 1.系统受力：以弹簧振子为例， 弹性力 -kx 阻尼力 dt -? ( ) dx 周期性驱动力 f = F0 cos? t 2.振动方程：由牛顿定律有 -? ( ) m = -kx + f dx dt d2x dt 2 +2? +?02x = hcos?t d2x dt 2 dx dt ?0 = ( )1/2 k m 其中 是固有角频率 ； ? = ? 2m F0 h = m x =Acos(?t+?) ? 3.稳态解： 4.特点： 稳态时的受迫振动是简谐振动(但它不是无阻尼自由谐振动，请注意两者的区别)。 (1)角频率：等于驱动力的角频率 ? (2)振幅：系统作等幅振动(虽有阻力消耗能 量，但同时有驱动力作功对系统输入能量，系统仍可维持等幅振动)。 其振幅由系统参数(?0)、阻尼(?)、驱动力 (F0,?)共同决定。 A = h [(?02-?2)2+4? 2?2]1/2 A的大小敏感于?和?0的相对大小关系，而 和初始条件(x0、?0)无关。 tg? = -2?? ?02- ?2 (3)初相：亦决定于?0、?、和?，与初始条件 无关。 ? 值在-? ? 0之间。可见，位移x落后于 驱动力f 的变化( f的初相为零)。 二、共振(resonance)： ·位移共振(displacement resonance) ·速度共振(velocity resonance) 1.位移共振 位移共振：当驱动力的角频率 ? 等于某个 适当数值(称共振角频率)时，振幅出现极大 值、振动很剧烈的现象。 (1)共振角频率： ?r= (?02-2? 2)1/2 Ar = h 2? (?02-? 2)1/2 ? (2)共振振幅： 若阻尼很小，? 2 ?02，则 ?r ? ?0 ， 2?? Ar ? h 称尖锐共振 2.速度共振 速度共振：当驱动力的角频率正好等于系统 的固有角频率时，速度幅?A达极大值的现 象。 (1)共振角频率： ?r= ?0 Vmr = h 2? ? (2)共振时速度的幅值： (3)共振时速度的初相：?? r = 0 即速度共振时，速度与驱动力同相，一周 力总作正功，此时向系