第四章机械动力学.ppt

例3-6 如图所示的运动系统中，可沿光滑水平面移动的重物M1的质量为m1；可在铅直面内摆动的摆锤M2的质量为m2。两个物体用无重杆连接，杆长为l。求此系统的运动微分方程。 解： 1）取整个系统为研究对象。选取坐标轴如图所示，则M1和M2的坐标各为x1、y1和x2 、y2。 2）运动分析： 系统受到水平面和刚性杆的约束，有2个约束方程。 × × 约束方程微分，消去 × 得到系统的运动微分方程 而 与矢量力学的运动学方程相对照， 可知 是光滑接触面的约束力， 是二力杆 的内力。 当系统各质点的虚位移不独立时，要找到虚位移之间的关系不方便。 动力学普遍方程用独立的广义坐标表示，可推导出第二类拉格朗日方程，这种方法便于求解非自由质点系的动力学问题。 设一质点系由n个质点组成，系统具有s个完整理想约束，具有N=3n-s个自由度。用q1、q2、…qn表示系统的广义坐标。 设系统中第i个质点的质量为m1，矢径为 ri，矢径ri可表示为广义坐标和时间的函数： § 3-5 第二类拉格朗日方程 × 由质点系普遍方程： 上式第一项又可以表示为： 注意：这里不是研究平衡问题，所以Qk不一定为零。 × 代入上式第二项得: × 对于完整约束的系统，其广义坐标是相互独立的。 所以广义坐标的变分是任意的，为使上式成立，必须有： 这是具有N个方程的方程组，其中第二项与广义力对应，称为广义惯性力。 表明广义力与广义惯性力相平衡，是达朗伯原理的广义坐标表示。 对广义力做如下变换 × 1.证明： 进一步简化，先证明两个等式 对时间求导数 其中 是广义坐标和时间的函数，而不是广义速度的函数。 再对 求偏导数： 得证 在完整约束下 × 对某qj求偏导数 将 对时间求导数得： 2.证明 ： 由此得证 × × 其中 为质点系的动能 该方程组中方程式的数目等于质点系的自由度数，每一个方程都是二阶常微分方程。 得 上式称为拉格朗日方程 × 于是拉格朗日方程可写成 上式就是保守系统的拉格朗日方程。 记L=T-V，L称为拉格朗日函数或动势。 如果作用在质点系上的主动力都是有势力，则广义力Qk可写成 × 拉格朗日方程用动势L =T-V表示 拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题的普遍方程，是分析力学中重要的方程。 拉格朗日方程的表达式非常简洁，应用时只需计算系统的动能和广义力； 对于保守系统，只需计算系统的动能和势能。 因为势能是坐标的函数 × 例 3-7：如图所示的系统中，轮A沿水平面纯滚动，轮心以水平 弹簧联于墙上，质量为 的物块C以细绳跨过定滑轮B联于点A， A，B两轮皆为均质圆盘，半径为R，质量为 ，弹簧刚度为k 质量不计，当弹簧较软，在细绳能始终保持张紧的条件下 求此系统的运动微分方程 解： 此系统具有一个自由度，以物块平衡位置为原点 取x为广义坐标如图， 以平衡位置为重力零势能点， 取弹簧原长处为弹性力零势能点， 系统在任意位置x处的势能为 其中 为平衡位置处弹簧的伸长量。 由运动学关系式， 当物块速度为 时， 轮B角速度为 ， 轮A质心速度为 ， 角速度亦为 ， 此系统的动能为 系统的动势为 代入拉格朗日方程 得 注意到 则系统的运动微分方程为 例 3-8：仍以例3－6为例 如图所示的运动系统中， 可沿光滑水平面移动 两个物体用无重杆连接，杆长为l。 试建立此系统的运动微分方程 重物 的质量为 ， 摆锤 的质量为 ， 该问题也可以用第二类拉格朗日方程来求解 解： 选 和 为广义坐标， 则有 （a） 将式（a）两端对时间求导数，得 （b） 系统的动能 选质点 在最低处时的位置为系统的零势能位置， 则系统的势能为 由此得 把以上结果代入拉格朗日方程中，得 如果质点 摆动很小， 可以近似地认为 。 且可以忽略含 和 的高阶小量， 上式可改写为 （c） （d） 从以上两式中消去 ， 得到 （e） 这是自由振动的微分方程， 其解为 （f） 固有角频率为 摆动周期 （g） 如果 则质点 的位移 将很小， 质点 的摆动周期将趋于普通单摆的周期 若将式（e）代入（d） 得到 （h） 将式（f）代入， 可见质点 沿x方向也作自由振动 可以将例3－6的结果与例3－8进行对比， 将（a）（b）两式代入例3－6中