第四节,全微分及其应用.ppt

* 定义1 全增量的概念 一、全微分的定义 定义2　如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，全增量Δz可以表示为 其中A,B不依赖于Δx,Δy而仅与x，y有关， 则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微， AΔx+BΔy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分，记为dz,即 若函数z=f(x,y)在区域D内各点处可微，则称z=f(x,y)在D内可微. 将Δx与Δy写成dx与dy，并分别称为自变量x与y的微分.于是，函数z=f(x,y)的全微分可写成 定理1(必要条件)　如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，则 (1) f(x,y)在点(x,y)处连续； (2) f(x,y)在点(x,y)的偏导数 , 必存在，且f(x,y)在点(x,y)处的全微分为 . 二、可微与连续、偏导数存在之间的关系 注：偏导数 ， 存在是可微分的必要条件，但不是充分条件(见本节例1).这要与一元函数区分开来，一元函数可微与可导是等价的. 例1　考察函数 在点(0,0)的偏导数、连续性和可微性. 解　在§7.3的例7中已经知道： (1) 函数f(x,y)在点(0,0)的偏导数存在，且为： (2) 因函数f(x,y)在(0,0)处的极限不存在，所以f(x,y)在点(0,0)处不连续. 由定理1可知连续是可微的必要条件，故由f(x,y)在点(0,0)处不连续，即知f(x,y)在点(0,0)处不可微. 定理2(充分条件)　如果函数z=f(x,y)的偏导数在点(x,y)连续，则函数在该点处可微. 多元函数连续、可导、可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 偏导数 上一页 目录 下一页 退 出 例2　求函数 的全微分. 解 故 例3　计算函数 在点(1，2)处的全微分. 解 , , 故 三、全微分的计算 解 所求全微分 四、全微分在近似计算中的应用 也可写成 解 由公式得 思考题