第四讲 平稳随机过程及其遍历性.ppt

* 定理1: 设X(t)是严格循环平稳的,而随机变量?在区间(0,T)上均匀分布,且X(t)与?统计独立,定义新的过程 则X(t)是严格平稳随机过程. 定理2: 设X(t)是广义循环平稳的,而随机变量?在区间(0,T)上均匀分布,且X(t)与?统计独立,定义新的过程 则X(t)是广义平稳随机过程,且 军用PKI体系结构及其关键技术 * 西安电子科技大学通信工程学院 * 性质8 例：判断下面图形表示的函数是否可以作为实WSS.R.S.的自相关函数。 * 平稳随机过程必须满足对所有 均成立。 性质9 自相关函数的傅里叶变换是非负的，因为平稳随机过程X(t)自相关函数的傅里叶变换是X(t)的功率谱密度。这限制了自相关函数曲线图形不能有任意形状，要求不能出现平顶、垂直边或在幅度上的任何不连续。 * 平稳过程相关函数的典型曲线 ) ( t X R 2 X s ) 0 ( X R 2 X m t 0 * 平稳过程的相关系数和相关时间 对于平稳随机过程X(t)的两个不同时刻t和 的起伏值的关联程度，可以用自协方差 表示。但是， 还与 和 的强度有关，若 或 很小，即使两者的相关程度较强，则 也不会太大，所以并不能准确表示关联程度的大小。为了消除起伏值强度对 的影响，需要对协方差函数作归一化处理，引入相关系数。 * 此值在[－1，1]之间。 表示不相关， 表示完全相关。 表示正相关，表明两个不同时刻起伏值（随机变量与均值之差）之间符号相同可能性大。 相关系数 也称为归一化协方差函数或标准协方差函数 表征随机过程在两个不同时刻的状态之间的统计关联程度 * 相关时间 对于一般的随机过程而言，随着时间间隔 增大相关程度减弱，因此相关系数也随着减弱，当间隔大到一定程度（假定为 ），相关系数很小可以认为起伏值不相关了，这个时间就称为相关时间。 * 1 通常把相关系数的绝对值小于0.05的时间间隔 ，记做相关时间, 即: 时的时间间隔 为相关时间。 2 有时我们用矩形（高为 ,底为 的矩形）面积等于 积分的一半来定义相关时间即 相关时间示意图 * 物理意义： 相关时间 越小，就意味着相关系数 随 增加而降落的越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之， 越大，则表示随机过程随时间变化越慢。 相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依赖性越强，变化越缓慢；相关时间越小，反映随机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越快速。 两个不同相关时间随机过程的样本函数 0 50 100 -4 -2 0 2 4 0 50 100 -10 -5 0 5 10 * 例：已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为 求X(t)的均值和方差。 * 解：由性质6可知 由性质7可知 * 例： 已知随机过程X(t)与Y(t)的协方差函数 比较两个过程的起伏速度。 * 解: 由随机过程的协方差函数，得出X(t)、Y(t)的方差 由于 ，故过程X(t)比Y(t)起伏速度快。 由定义得出X(t)、Y(t)的相关系数 X(t)、Y(t)的相关时间 * 三 遍历(Ergodic)随机过程（各态历经性） 每当提及随机过程时，意味着要涉及大量的样本函数的集合。要得到随机过程的统计特性，需要观察大量的样本函数。数学期望、方差、相关函数等都是对大量样本函数在特定时刻的取值利用统计方法求平均而得到的数字特征。这种平均称为统计平均或集合平均。显然，取统计平均所需要的试验工作量很大，处理方法也很复杂。这就使人们自然想到，根据平稳随机过程统计特性与记时起点无关这个特点，能否找到更加简单的方法代替上述的方法。 辛钦证明：在具备一定的条件下有平稳随机过程的任意一个样本函数取时间平均（观察时间足够长），从概率意义上趋近于该过程的统计平均值。这样的随机过程，称具备各态历经性或遍历性。 * 随机过程各态历经性可以理解为：随机过程的各样本函数都同样的经历了随机过程的各种可能状态。因此从随机过程的任何一个样本函数都可以得到随机过程的全部统计信息，任何一个样本函数的特性都可以充分地代表整个随机过程的特性。 问题：随机过程 的各数字特征（集合平均），能 否用任一条样本函数的特征（时间平均）来代替。 * 1 遍历性随机过程的定义 如果一个随机过程X(t)，它的各种时