第通信原理课件 3章 随机过程.ppt

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第通信原理课件 3章 随机过程

随机过程的一维分布函数记作: 如果分布函数对 的偏导存在,有 为随机过程的一维概率密度函数。一维分布函数或者一维概率密度函数仅描述了随机过程在任一瞬间的统计特性。 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程 图3-6 窄带过程的频谱和波形示意 3.6 正弦波加窄带高斯噪声 图 3 – 7 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布 如果白噪声又是高斯分布的,我们就称之为高斯白噪声。由式(3.3 - 18)可以看出,高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间,不仅是互不相关的,而且还是统计独立的。应当指出,我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是,如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带,我们就可以把它视为白噪声。 图 3 - 4 白噪声的功率谱和自相关函数 我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析,完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道,线性系统的响应vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积,即 (3.4 - 1) (3.4 - 2) 若 则有 若线性系统是物理可实现的,则 或 如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本,则vo(t)可看作是输出随机过程的一个样本。显然,输入过程ξi(t)的每个样本与输出过程ξo(t)的相应样本之间都满足式(3.4 - 4)的关系。这样,就整个过程而言,便有 (3.4 - 3) (3.4 - 4) (3.4 - 5) 假定输入ξi(t)是平稳随机过程, 则可以分析系统的输出过程ξo(t)的统计特性。 1. 输出过程ξo(t)的数学期望 对式(3.4 - 5)两边取统计平均,有 式中利用了平稳性假设 (常数)。 由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H(0)的乘积,且与t无关。 (3.4 - 6) 根据平稳性 可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明,若线性系统的输入过程是平稳的,那么输出过程也是平稳的。  2. 输出过程ξo(t)的自相关函数 有 (3.4 - 7) 3. 输出过程ξo(t)的功率谱密度 令 则有 即 对式(2.4 - 7)进行傅里叶变换, 有 可见,系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi(ω)与系统功率传输函数|H(ω)|2的乘积。 (3.4 - 8) [例3–1] 带限白噪声。试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为 可见,输出噪声的功率谱密度在|ω|≤ωH内是均匀的, 在此范围外则为零,如图 3- 5(a)所示,通常把这样的噪声称为带限白噪声。其自相关函数为 解: 图3-5 带限白噪声的功率谱和自相关函数 由此可见,带限白噪声只有在τ=k/2fH(k=1, 2, 3, …)上得到的随机变量才不相关。即,如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话,则各抽样值是互不相关的随机变量。 带限白噪声的平均功率: 4. 输出过程ξo(t)的概率分布 从原理上看,在已知输入过程分布的情况下,通过式(3.4 - 5),即 总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是:如果线性系统的输入过程是高斯型的,则系统的输出过程也是高斯型的。  因为从积分原理来看,上式可表示为一个和式的极限,即 由于ξi(t)已假设是高斯型的,所以,在任一时刻的每项 都是一个高斯随机变量。因此,输出过程在任一时刻得到的每一随机变量,都是无限多个高斯随机变量之和。由概率论得知,这个“和”的随机变量也是高斯随机变量。这就证明,高斯过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程。更一般地说,高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。但要注意,由于线性系统的介入,与输入高斯过程相比,输出过程的数字特征已经改变了。 随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出,即是窄带随机过程。所谓窄带系统,是指其通带宽度Δffc,且fc远离零频率的系统。实际中,大多数通信系统都是窄带型的,通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的,如果这时的信号或噪声又是随机的,则称它们为窄带随机过程。可表示为: 等价式为: (3.5 - 1) (3.5 - 2) 其中 (3.5 - 3) (3.

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