自行车问题.doc

自行车问题（经历解题案例） 第一、案例例1-15000后报废，若安装在后轮则行驶3000后报废．如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少？ （请用方程或算术等多种方法求解．然后想想如何让学生也会解） 解法1 解法2 解法3 困难在哪里？ （1）不清楚解题困难在哪里，反正读完题目之后就无从下手了． （2）感觉好像什么都不知道，总磨损量不知道，什么时候交换不知道，拿什么做等量关系不清楚，属于什么题型不清楚． （3）理不清题目的条件是什么．特别是“自行车的前轮后轮”把“甲乙两个轮胎”与“自行车前后两个位置”交叉在一起，理不清“自行车的前轮后轮”的数学含义是什么．（参见图2） （4）理不清题目的结论是什么．表面上，结论是求“一对新轮胎行驶多少”写得很清楚，但这与“交换”前、后轮胎有关，并且“交换”好像是实质的，否则，怎能“使一辆自行车的一对新轮胎同时报废”呢？（解题的干扰因素） 如果你不能求解，没关系，请先做第2题． 例1-2 一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前半段5000小时完成，乙工程队干后半段3000小时完成，如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计），使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？ （属于什么题型？中途交换如何处理？） 如果你能求解第2题2题、案例．1：关于解法解法1 （方程解法）设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行使1的磨损量为．又设一对新轮胎交换位置前走了、交换位置后走了，分别以一个轮胎总磨损量为等量关系列方程，有（方程组） 两式相加，得 ③ 则 （）． ④ 这个解法这个解法，既有助于写出相关代数式、建立等量关系、列出方程，又“设而不求”（像化学反应中的催化剂），表现出解题的艺术．但也正是这些技巧给我们的教学讲解和学生接受带来困惑，把所求的未知数设为两个未知数之和，学生不太好理解，这是“怎样想到的”也不容易说清楚，这促使我们思考：能不能把题目处理得更好接受一些？ 第1次反思：都只有辅助的作用，而等量关系也被③式代替了，能不能一开始就③式这个本质结构呢？不管甲轮还是乙轮作前（后）轮，磨损率是一样的，交换是非实质的（可以不列方程组，列方程就行了）解法2（方程解法）设每个新轮胎报废时的总磨损量为，则安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行使1的磨损量为．又设一对新轮胎可走，则一对轮胎分别在前后轮各走了，有 则 （）． ⑤ 说明1：如果说原解法更关注前轮、后轮两个“局部”的话，那么新解法则把前轮、后轮合起来作“整体处理”了；原解法将两个“局部”列成两条方程，新解法则已经完成两条方程相加、“整体”得出④式． 第2次反思这个解法中只有辅助作用，能不能去掉怎么去另外，由④及⑤中的，我们看到了一种结构——工程问题能不能一开始就？（解法2解法）解法3（算术解法）设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则一对新轮胎报废时的总磨损量为2；又由已知得，安装在前轮的轮胎每行驶1的磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1的磨损量为，进而，每1一对轮胎磨损量为；用总磨损量除以单位磨损量可得“一对新轮胎同时报废最多可行驶” （）．（高中），“反比例函数模式”（初中）．（参见后面案例13的提炼） 第3次反思解法3是在④、⑤中取，只能取1吗？解法4（技巧解法）假设自行车行驶了15000，则前轮用了3个，后轮用了5个，共报废8个，所以，一对新轮胎同时报废能行驶（）反思解法1两式相加，两式相，就是说，若一对新轮胎同时报废，则单个轮胎安装在前轮行驶的路程等于其安装在后轮行驶的路程．这个实事有明显的几何意义：方程组①、②中的两条不平行直线关于对角线对称，其交点在对角线上（或说两个互为反函数的图像——两条直线，相交于对角线），有 解法5 设一对新轮胎交换位置后同时报废时自行车共行驶了，不妨设想自行车的车把和车座都可以旋转，用人和车的掉头代替前、后轮交换的装卸．当自行车行驶到时，磨损量磨损量前轮的磨损量恰好是后轮的磨损剩余量，前轮的磨损剩余量恰好是后轮的磨损量，如果此时旋转车把和车座掉头返回出发地，就交换了前、后轮，再行驶回到出发地时一对新轮胎同时报废．于是一个新轮胎的总磨损量 前进的磨损量返程的磨损量， 有 ， 得 ． 解法方程解法算术解法技巧解法解法12：关于教学设计的意图． 这是一个“亲身参与”的解题教学案例，体现解题教学是解题活动的教学，当中有 （1）解题化归的教学设计如果你