一般有限元原理细则.doc

一般有限元原理 一、基本理论 　有限元单元法是数值计算方法中发展较早、应用最广的一种方法。利用有限元法，可以解决经典的传统的方法难以解决或无法求解的许多实际问题。其优点是部分地考虑边坡岩土体的非均质、不连续的介质特征，考虑岩土体的应力应变特征，可以避免将坡体视为刚体，过于简化边界条件的缺点，能够接近实际从应力应变的角度分析边坡的变形破坏机制。对了解边坡的应力分布及应变位移变化很有利。 有限单元法实质是变分法的一种特殊的有效形式，其基本思想是：把连续体离散化为一系列的连接单元，每个单元内可以任意指定各种不同的力学形态，从而可以在一定程度上更好地模拟地质体的实际情况，特殊的节理元，可以有效地模拟岩土体中的结构面。 在大多数情况下岩土体材料应采用非线形模型，其中包括岩体弹塑性、蠕变、不抗拉特性以及结构面性质的影响。下面简要叙述有限元法的求解过程和原理。 有限单元法的基本原理 1.有限单元法的实施步骤 有限元的重要步骤归纳起来，主要有以下几步： （1）建立离散化的计算模型，包括以一定型式的单元进行离散化，按照求解问题的具体条件确定荷载及边界条件； （2）建立单元的刚度矩阵； （3）由单元刚度矩阵组集总体刚度矩阵，并建立系统的整体方程组； （4）引入边界条件，解方程组，求得节点位移； （5）求各单元的应变、应力及主应力。 2位移模式与单元类型 在一般的有限单元法问题中，我们常以位移作为未知数，称为位移法。为保证解的收敛性，要求位移模式必须满足以下三条： （1）位移模式必须能包含单元的刚体位移。即当节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内不会有应变。 （2）位移模式必须能包含单元的常应变，即与位置坐标无关的那部分应变。 （3）位移模式在单元内要连续，并使相邻单元间的位移必须协调。 同时，还要求所选的位移模式与局部坐标系的方位无关，即具有几何各向同性。对于线形多项式，各向同性的要求通常就等价于必须包含常应变状态，对于高次模式，就是位移模式不应随局部坐标的更换而改变。对于常应变三角形单元，其位移模式十分简单。这里以常用的四边形等参数单元为例。 等参数单元的概念已普遍地应用于有限单元公式中。“等参数”这个术语意味着单元的未知位移和几何形状有着共同的参数表述，其基本思想使用同样的内插函数N来表达单元的位移和几何形状。 如果把单元中点的位移表示为： 在等参概念中，用同样的函数N来表示单元中某点的坐标 式中，，由节点坐标所构成。 先以四节点的四边形等参元为例，为了便于积分运算，采用了自然坐标系。这种局部坐标以四边形两对中线连线为坐标轴，坐标原点为0，单元节点的坐标值为±1。由此采用线性插值方法给出函数为 其中，，为四边形各节点的局 部坐标值，插值函数在节点处应等于1，在其他节点处应等于0。 3单元刚度矩阵的建立 对于二维应力－应变问题来说，单元上的每个节点有两个自由度，方向的位移和方向位移，在矩阵记号中 用节点位移表示就可以写作 = 此处有上面方程给出，而， 单元的几何形态可用同样的[N]表示为 = 此处，在平面应变条间下的应变位移关系为式中可有的某种适当求导而得 以及= 下面使用变分法来推导单元的刚度方程。 位移法得变分泛函系统的势能可以表示为 ＝ 式中――单位体积的应变能； 　　　　　、――规定的体积力分量，即物体的重量； 、――规定的表面牵引力； ――单元体积； ---有规定牵引力作用的曲面。 根据材料是线性的假设，利用弹性理论的结果，将表示为 此处，为应力分量向量。 利用广义虎克定律，应力--应变关系是 式中，为应力－应变矩阵，对于各向同性线弹性材料来说，它有一对参数构成，这对参数为杨氏模量和泊松比，或为体积模量和剪切模量或为拉梅常数和。 考虑各向同性线性弹性性状，方程 ＝变为 ＝ 式中，，分别是体力和表面牵引力向量。 将==代入方程上式得： ＝ 　对节点位移取得一级变分，以及引用最小势能原理，从而得到 此式对于四边形等参单元来说有 + 式中，――雅克比矩阵的行列式，导出整体坐标与局部坐标之间的关系。 ， ＝4 =＝ 为单元的等厚度常数。对于平面应变情形来说，取，因此，对于平面问题，图1给出的四边形等参单元的刚度矩阵就可以写成 ＝ 上式的积分在程序中用高斯积分实现。 相同的推导，可以得到常应变三角形单元的刚度矩阵 ＝ 对于及为常量的常应变三角形单元有 式中 ――三角形单元面积 ――单元厚度 4.非线性有限元法的求解 岩土工程问题大都为非线性问题，应力应变关系呈非线性状态，非线性算法是有限元解题步骤中非常重要的一步。求解非线性问题的方法可分为三类：增量法、迭代法和混合法。这里主要介绍迭代法，迭代法在每次迭代过程中都施加全部荷载，但逐步修改位移和应变，使之满足非