孙会元 固体物理基础 第一章 1.4电场中自由电子.ppt

第四节 金属的电导率和热导率 本节主要内容： 三、金属的热导率 一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率 二、索末菲近似下金属的电导率 一、特鲁德-洛仑兹近似下金属的电导率 1. 电场下经典的动力学方程 按照特鲁德-洛仑兹模型，电子遵循碰撞近似和弛豫时间近似。碰后的电子无规取向,所以电子对动量的贡献仅源于没有发生碰撞的那部分电子。 无论是经典的特鲁德-洛仑兹自由电子论，还是量子的索末菲自由电子论，在解释金属的电导和热导问题上都取得了成功,并成功解释了维德曼—夫兰兹定律。首先我们看一下特鲁德-洛仑兹自由电子论的结果。 定义驰豫时间?，借以概括电子和金属离子的碰撞特征. 驰豫时间?,相当于相继两次散射间的平均时间 由弛豫时间τ的定义，dt时间内，电子受到碰撞的几率为dt/τ，从而电子没有受到碰撞的几率为(1-dt/τ)。 假定t时刻电子的平均动量为P(t)，经过dt时间没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献为P(t+dt)。 所以有: 则没有受到碰撞的电子对平均动量的贡献应为t时刻电子的平均动量和dt时间后动量的变化之和，再乘以未被碰撞的电子的几率。 是对于所有电子而言的，电场力对所有电子有作用，但是，有贡献的只是未发生碰撞的电子. 整理得 取一级近似 从而有 所以，自由电子在外场下的动力学方程为： 设外场作用下电子的漂移速度(drift velocity)为vd(t),则动量 从而,自由电子在外场下的动力学方程变为 阻尼力 该方程又称为漂移速度理论 对于稳恒电场下，电子具有恒定的漂移速度 所以： 把它们代入自由电子在外场下的动力学方程 得到： 整理后得到电子的漂移速度为 相应的电流密度 又 所以,电导率为 2.稳恒电场情形下金属的电导率 电阻率ρ定义为电导率的倒数，所以电阻率为： 由此可得弛豫时间： 材料的电阻率或电导率可实验测出，然后，代入上式可计算弛豫时间.对于普通的金属,? 的量级约为10-14秒. 由经典的玻耳兹曼统计可得电子的平均速率。 由此可得到电子的平均自由程： 室温下电子的平均速率大约为107 cm/s。对于普通的金属,? 的量级约10-14s,所以l 约1 nm 所以电子的平均速率： 经典统计下电子的动能： 由电子的密度我们容易得出电子的半径rs的大小约为0.1 nm左右，差不多和经典下电子的平均自由程在一个量级，显示了经典模型的局限性。 3.交变电场情形金属的电导率 假设此时 代入电子的动力学方程得 整理得 由 得到 为直流电导率 索末菲近似下，基态时金属中的自由电子费米气体全部分布在费米球内。此时金属自由电子具有确定的动量 电子速度 二、索末菲近似下金属的电导率 不加外场时，费米球的中心和k空间的原点重合，整个费米球对原点对称。如果有一个电子有速度v，就有另一个电子有速度-v，因此金属内净电流为零。 在恒定的外场作用下，电子受力为-eE 由牛顿第二定律 此式说明在外电场的作用下，电子动量的改变表现为k空间相应状态点的移动，即产生了费米球的刚性移动。 在k空间移动的速度为 所以 电子之间没有发生碰撞时，对上式积分得 此式表明，在K空间，从0?t 时刻，费米球中心移动为 负号表示费米球沿与外场相反的方向移动 那么，在弛豫时间?内费米球中心在k空间的位移为: 费米球在外场作用下产生刚性移动示意图 从0?? 时刻,费米球中心逆电场方向移动为 考虑到动量的变化关系： 得电子在稳恒电场下逆电场方向的速度增量： 上式就是电子在稳恒电场下获得的定向漂移速度，对金属内每一个电子来说，都有这样的漂移速度，由此可得电流密度： 所以，电导率为 可见与经典模型下的结果一致。由上式的推导过程可知，费米球内所有的电子都参与了导电. 如图所示，在外场作用下，费米球从红色位置向蓝色位置平移。 但是，如果我们具体分析在外电场的作用下费米球的刚性移动过程，不难发现只有费米面附近的很少一部分电子才对金属的电导有贡献. 由于费米球的半径为kF,位移为?k,电子在球内均匀分布 所以，蓝色月牙形部分的电子所占的比例约为： 由于I区和II区均位于原来的红色球内,且关于 ky – kz 面对称。所以它们的传导作用被抵消。只剩下费米面附近未被 补偿的蓝色月牙形部分的电子才有传导电流作用。 所以参与导电的电子数目约为 由于这些电子以费米速度逆电场方向运动，则对电流的贡献为 电导率 和前面得到的电导率形式上一样，只是用?F 代替 ? 电子所占的比例为： 严格的理论计算支持了后一种的说法。这主要是由泡利原理导致的。能量比费米能低得多的电子，其附近的状态已被电子占据，