数列常见错误分析.doc

《数列》常见错误辩析 　　数列是高中数学的重要内容之一，在最近几年的高考中，有关数列问题每年有两个左右，约占总分的12％.由于数列学习要求较高，同学们在学习的过程中经常会因为概念不清、忽略条件、思维混乱、考虑不周等原因而错解题目.下面就一些常见错误分类辨析如下，希望能对同学们有所帮助. 　　错误一：陷入“n”的误区 　　例1　已知数列1，4，7，10，…，3n+7，…其中后项比前项大3. 求这个数列的通项公式. 　　错解：数列的通项公式是. 　　错误原因：有些同学看见含有n的式子，就认为该项就是此数列的第n项，而实际上题目给出的该项是已经化简了的结果，而并没有按照数列通项公式最原始的结构给出. 　　正解：数列是以1为首项，3为公差的等差数列，所以. 　　错误二：“貌合神离”导致错误 　　例2　已知数列，且，求数列的通项公式. 　　错解：∵， 　　∴是以1为首项，以n为公差的等差数列， 　　则. 　　错误原因：有些同学看见的结构就联想到，没有意识到等差数列定义中要求后项减前项是同一个常数这一条件，只是记住了公式的外形，而没有领会公式内在的本质要求，所以造成了把变量 当成常量的错误. 　　正解： 　　∴， 即. 　　错误三：特殊代替一般 　　例3　已知函数，数列满足，求证：数列是等差数列. 　　错解：∵. 　　∴， 　（常数） 　　∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列. 　　错误原因：这是初学者经常犯的一个错误，把对有限项成立的式子作为数列的通项公式，忽略了数列通项公式定义中“每一项”三个字而致错，因为对数列定性的结论是要求对数列所有项都成立的，而对局部的验证不能代替一般的证明. 　　正解：. 　　∴， 　　∴数列是以1为首项，3为公差的等差数列. 　　错误四：把“”遗忘 　　例4　已知数列的前n项和为，且，则数列是（　　）. 　　（A）公比为的等比数列　 　　（B）公差为的等差数列 　　（C）公比为的等比数列 　　（D）既非等差也非等比数列 　　错解：∵，选（C） 　　错误原因：对公式成立的条件没有记住，对成立，而对时却未必成立，同学们在解题的过程忽略了这一隐藏条件，而导致了判断的错误. 　　正解：当n=1时，， 　　当n≥2时， 　　， ∴ 　　正确答案为（D）. 　　错误五：随意编造性质 　　例5　在等差数列中，，则__________. 　　错解：. 　　错误原因：受等差数列性质：“若，则有”的“启发”；于是有些同学就“想当然”认为也有性质，随意构造结论，而导致此题的错解. 　　正解：∵， 　　∴. 　　错误六：对公式理解深度不够 　　例6　已知分别为等差数列前n项的和，且，那么_________. 　　错解：由题意设， 　　则有. 　　错误原因：上述的错解是此题众多错解中的最普遍的解法.其解题过程看上去似乎步步有理，但为什么又是错误的呢？原因就是对等差数列前n项和公式没有理解透彻.错解中设，即将等差数列前n项的和看成了是关于n的一次函数，显然是错误的. 　　事实上，在等差数列中， 　　即，它不一定是n的一次函数. 　　正解：法一：设， 则有. 　　法二：. 　　上述简单地列举了数列学习中同学们常犯的一些错误，当然易错点远不止这些.要想在平常的练习、考试中少出错误，我们首先要吃透定义，深刻理解数列性质的内涵与外延.同时，做一些必要的针对性练习，记录自己在练习中经常出现的错误进行反思，这样就能避免出现类似错误. 则有. 　　法二：. 上述简单地列举了数列学习中同学们常犯的一些错误，当然易错点远不止这些.要想在平常的练习、考试中少出错误，我们首先要吃透定义，深刻理解数列性质的内涵与外延.同时，做一些必要的针对性练习，记录自己在练习中经常出现的错误进行反思，这样就能避免出现类似错误. 错误七 对概念理解不透彻 例1　下列说法正确的是（　　） 　　Ａ．若（，为常数），则数列是等比数列 　　Ｂ．若，则数列是等比数列 　　Ｃ．任何两个数都有等差中项和等比中项 Ｄ．数列是等差数列 错解：不少学生会选择A或B 　　解析：对于各项全为零的常数列来讲，满足（A）、（B）两个选项，但显然这个常数列不是等比数列．对于（C）选项，若两数异号，或者有一个数是零，则显然这两数没有等比中项．而上述所有问题对等差数列来讲都是不存在的，所以正确答案选（D）． 例2.　数列中任何相邻两项满足，那么此数列是（　　） 　　Ａ．等差数列 　　Ｂ．等比数列 　　Ｃ．等差数列或等比数列 　　Ｄ．以上均不对 　　解析：∵， 　　∴或． 　　我们很容易误选（Ｃ）． 　　但数列满足上式，它既不是等差数列，也不是等比数列． 　　所以答案应选（D）．