数学新课标初高中衔接教材(教师版).doc

练习 PAGE 第PAGE 34页 第一讲 数与式 1.1 数与式的运算 1.1.1 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 ； （2）完全平方公式 ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式 ； （2）立方差公式 ； （3）三数和平方公式 ； （4）两数和立方公式 ； （5）两数差立方公式 ． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 【例1】 计算：． 解法一：原式= = =． 解法二：原式= = =． 【例2】 已知，，求的值． 解： ． 练习： 1、已知，求的值． 解： 原式= 2、已知，求的值． 解： 原式= ① ②，把②代入①得原式= 说明：注意字母的整体代换技巧的应用． 1.1.2. 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 一、公式法 【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) (2) 分析： (1)中，，(2)中． 解：(1) (2) 说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号． 二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 【例2】把分解因式． 分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式． 解： 说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用． 【例3】把分解因式． 分析：先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式． 解： 说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式． 三、十字相乘法 1．型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 因此， 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【例4】 分解因式： （1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）； （4）． 解：（1）如图1．2－1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有 x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． －ay－by －ay －by x x 图1．2－4 －2 6 1 1 图1．2－3 －1 －2 1 1 图1．2－2 －1 －2 x x 图1．2－1 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）． （2）由图1．2－3，得 x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． （3）由图1．2－4，得 －11xy图1．2－5 －1 1 x y 图1．2－5 （4）＝xy＋(x－y)－1 ＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解． 若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式就可分解为. 【例5】　把下列关于x的二次多项式分解因式： （1）； （2）． 解： （1）令=0，则解得，， ∴= =． （2）令=0，则解得，， ∴=． 四、其它因式分解的方法 1．配方法 【例6】分解因式 解： 说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验． 2．拆、添项法 【例7】分解因式 分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一