李雅普诺夫.ppt

另选一个李氏函数 ，请同学们用此李氏再判断这道例题的稳定性问题。 例4.5：已知非线性状态方程： 试判别系统的稳定性。 解：①求平衡状态 由 得 是唯一解 4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) ②取 ③求 ，因此该关系是渐进 稳定的。 当 ∴ 是大范围渐进稳定的。 例4.6：设系统状态方程为 试判定其稳定性。 解：①求平衡点 ②取 4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) ③求 ④稳定性分析 几点说明： 1) 李氏稳定判定方法的关键是找v(x)，但并没有提供找v(x)的方法； 2) 对于一个给定系统v(x)的选取一般不是唯一的，但并不影响结论的一致性； 4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 3）如果v(x)为标准二次型 5）由于构造v(x)较难，因此实际上李氏判据主要用于其他方 法无法判定的情况。我们则主要掌握对线性系统的判定。 4）v(x)函数只提供了系统在 附近的稳定情况，域外情况 由 的情况来延伸。 则 在几何上表示状态空间中以原点为中心，以 为半 径的超球面。 表征了系统相对原点运动的速度。 收敛于原点 发散 4.3 李雅普诺夫第二方法(通用方法) 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.4.1 线性定常连续系统渐近稳定判据 设线性定常连续系统为： 则平衡状态 为大范围渐近稳定的充要条件是：A的特征根均具有负 实部。 （1） 4.4.2 线性时变连续系统渐近稳定判据 设线性时变连续系统状态方程为： （2） 则系统在平衡点 处大范围渐近稳定的充要条件为：对于任意给定的连续对称正定矩阵 ，必存在一个连续对称正定矩阵 ，满足： 而系统的李雅普诺夫函数为： （3） （4） 证明 设李雅普诺夫函数取为： 式中， 为连续的正定对称矩阵。取V（x,t）对时间的全导数，得： 即 （5） 式中 由稳定性判据可知，当 为正定对称矩阵时，若 也是一个正定对称矩阵，则 是负定的，于是系统的平衡点便是渐近稳定的。 式(3)是黎卡提(Riccati)矩阵微分方程的特殊情况，其解为： 特别地，当取 时，则得： 式中， 为系统式(2)的状态转移矩阵； 为矩阵微分方程式 (3)的初始条件。 （6） （7） 式(7)表明，当选取正定矩阵 时，可由函 计算出 ；再根据 是否具有连续、对称、正定性来判别线性时变系统的稳定性。 4.4.3 线性定常离散时间系统渐近稳定判据 设线性定常离散时间系统的状态方程为： （8） 4.4.4 线性时变离散系统渐近稳定判据 设线性时变离散系统的状态方程为： （9） 则平衡状态 为大范围渐近稳定的充要条件是，对于任意给定的正定实对称矩阵 ，必存在一个正定的实对称矩阵 ，使得： 则平衡状态 渐近稳定的充要条件为：G 的特征根均在单位开圆 盘内。 （10） 成立。并且 （11） 是系统的李雅普诺夫函数。 4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用 从前面分析可知，线性系统的稳定性具有全局性质，而且稳定判据的条件是充分必要的。但是，非线性系统的稳定性却可能只具有局部性质。 4.5.1 雅町比(Jacobian)矩阵法 雅可比矩阵法，亦称克拉索夫斯基(Krasovski)法，二者表达形式略有 不同，但基本思路是一致的。实际上，它们都是寻找线性系统李雅普诺夫函 数方法的一种推广。 设非线性系统的状态方程为： （12） 式中， 为 维状态矢量；为与 同维的非线性矢量函数。 假设原点 是平衡状态， 对 可微， 系统的雅可比矩阵为： （13）