根子空间分解.docx

根子空间分解定义 设为上维线性空间，为的一个线性变换，为的一个特征值，为的一个非零向量。如果存在正整数，使，则称为线性变换的一个属于特征值的根向量，称子空间为的属于特征值的根子空间。定义设是线性空间上的一个线性变换，如果的方幂等于零变换，则称是幂零的。设是维线性空间上的一个线性变换，证明：根子空间是子空间，且。证：与可交换，所以是子空间。是显然的；而，若，显然，若，令是使得最小正整数，考虑，（1）将作用（1）式两边，有，进而，再将作用（1）式两边，有，进而，继续下去，可得。因而线性无关，知，从而，于是。综上。证毕2、设是维线性空间上的一个线性变换，是的互不相同的特征值，证明：，且的代数重数。证：时，取的基，设，知，结论成立。假设对结论成立。考虑时，设为的一个特征值，有。令，显然是子空间。则。进而，因为，知，得。（1）因为，所以根据归纳假设知， （2）这里是的互不相同的特征值。显然是的互不相同的特征值，且，。将（2）代入（1）有。设，取基，则是的基。令是在基下的矩阵，则是在下的矩阵。有，所以。因为的代数重数，于是的代数重数。 证毕3、设是维线性空间上的幂零线性变换，证明：存在的一个基，使得在这个基下的矩阵是对角线上元素皆为零的上三角方阵。证：因为，先取的基，再扩张成的基，继续下去，最后得到所需的的基，使得在这个基下的矩阵是对角线上的元素皆为零的上三角方阵。 证毕4、设是维线性空间的线性变换的互不相同的特征值，证明：存在的一个基，使得在这个基下的矩阵是上三角方阵。证：根据第2题。根据第1题是幂零变换。根据第3题存在的一个基，使得在此基下的矩阵是对角线上元素皆为零的上三角方阵，进而在此基下的矩阵是主对角元为的上三角矩阵。合并的基，构成的一个基，在的这个基下的矩阵是。证毕5、 设矩阵，求可逆矩阵，使是上三角方阵。解：是属于1的特征向量，是属于1的根向量，是属于-2的特征向量。定义的线性变换为，，有，，，。而，，。故，而，有。注：这里用到课题“特征值与特征向量的求法”的第4题。