泰勒公式及其在极限运算中的运用(论文).doc

目 录 摘 要 2 1 引言 4 2 泰勒公式 5 2.1 次泰勒多项式 5 2.2 泰勒公式 6 2.3 泰勒公式的种类 6 2.31 含有佩亚诺余项的泰勒公式 6 2.32 含有拉格朗日余项的泰勒公式 7 2.33 特殊的泰勒公式 7 3 利用泰勒公式求极限及其应用 8 3.1 一些常见的麦克劳林公式 8 3.2 一些实例分析 9 4 结论 17 参考文献 18 摘 要 在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算.如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而又满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义.而泰勒公式就起了很好的桥梁作用，本文将系统地阐述对一个函数具有什么条件才能用此多项式近似代替；这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么样的关系；用多项式函数近似代替这个函数的误差又怎样；重点是怎样利用泰勒公式计算极限以及其在极限计算中的应用，对比分析出泰勒公式的优越性. 关键词：泰勒公式；近似代替；极限运算 Abstract Polynomial in elementary function is the most simple function, because the polynomial function is used only three kinds of add, subtract, multiply computing. If can the rational fractional function, especially the irrational function and elementary transcendental function approximation using polynomial function, and meet the requirements, obviously, the study of functional state and function value approximate calculation has important significance. And there was a very good role of bridge and Taylor formula, this article will systematically expounded is what condition for a function to substitute the polynomial approximation; The polynomial function coefficient and the function of what kind of relationship; Using polynomial function approximation instead of what the function of the error; Focuses on how to use Taylor formula calculation, the application limit and the limit analysis of the superiority of the Taylor formula. Key words：Taylor formula;and approximate replace;limit operation  1 引言 在数学中，公式是用在某点的信息描述其附近取值的公式泰勒公式的证明与应用方面的研究对于科研者来说一直具有强大的吸引力许多研究者已在此领域获得许多研究成果次泰勒多项式.[3]张筑生体统地谈了用次多项式来研究可导次的函数，也就是带小余项的泰勒公式是无穷小增量公式的推广.[4]沈燮昌、邵品琮等人主要是从逼近角度对它进行介绍，并说明泰勒公式的一些应用.其中用泰勒公式来求极限就是一个应用. 对于一些高阶的极限运算，要求得其极限是非常困难的.对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的次多项式来研究可导次函数，这种带余项的泰勒公式是无穷小增量公式的推广.因此，泰勒公式是求极限的重要方法.对泰勒公式及其种类的认识是很有必要的. 2.1 次泰勒多项式[1] 首先来讨论次多项式函数 总能将它按着的幂表示为（或者展开为）： , 其中 或 由此可见，将次多项式函数按着的幂展开，它每项的系数由多项式函数唯一确定，即. 若任意一个函数（不一定是多项式函数），只要函数在存在阶导数，总能形式地写出一个相应的次多项式 称为函数在的次泰勒公式. 将函数与它的次泰勒多项式的差，表示为 ,. 称为函数在的次泰勒余项，简称泰勒余项.这就是满足以上的关系的