两个平面垂直的定和性质（三）教学目标1.使学生掌握利.ppt

* 第一章 直线和平面 两个平面垂直的判定和性质（三） 教学目标 1．使学生掌握利用有关定理推导出异面直线上两点间距离的方法； 2．通过公式的推导及对例题的剖析，培养学生在分析解决问题时严谨的逻辑思维能力． 教学重点和难点 异面直线上两点间距离的推导过程． 教学用具 两根直细木棍，其上分别有一个用醒目颜色标识的点． 教学设计过程 师：上节课我们小结了有关垂直的定理，整理了解决与垂直问题有关的问题的解题思路，并且留下了两个思考题．首先看第一题： （板书）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BB1，且BE=EB1． 求证：截面A1EC⊥侧面AC1． 师；这道题的结论是面面垂直．要想解决这个问题，需要在其中一个平面中找到或作出另一平面的一条垂线，也就是转化为解决线面垂直的问题．分析已知，由正三棱柱可知：△ABC，△A1B1C1都是正三角形，而侧棱AA1⊥面ABC．由面面垂直的判定定理可证侧面AC1与底面ABC垂直．于是在面ABC内可作出侧面AC1的垂线．可在平面A1EC中如何找到一条直线垂直于侧面AC1呢？这一点是从已知到未知的关键所在，解决了这一点，也就搭起了从已知到未知的桥梁．哪位同学解决了这个问题呢？ 生甲：取AC中点F，连结BF，作FG∥AA1交A1C于G，连结GE． 因为? FG∥AA1，F是AC中点， 又因为? 正三棱柱ABC-A1B1C1， 所以? AA1 BB1 ， 所以? FG BE， 所以? 四边形FGEB是平行四边形． 所以? BF∥GE． 又因为? 正△ABC， 所以? BF⊥AC， 又因为? AA1⊥面ABC 所以? AA1⊥BF 因此? BF⊥面AC1 所以? GE⊥面AC1 所以? 面AEC⊥面AC1． 师：很好．充分利用线面之间垂直关系，在平面ACE内找到了直线EG，EG⊥面AC1，使问题得以解决． 生乙：还可以延展平面A1EC．分别延长CE，C1B1交于点D，连结A1D． 因为? 正三棱柱ABC-A1B1C1 所以? AA1⊥面A1B1C1， 所以? A1A⊥A1D． 所以? 在△DCC1中，有DB1=B1C1． 又因为? 正△A1B1C1， 所以? A1B1=B1C1=DB1， 所以? ∠A1C1B1=∠B1A1C1， ∠B1DA1=∠B1A1D， 因此? ∠C1A1D=90°，即A1C1⊥A1D． 故? A1D⊥面A1C． 又? A1D 面A1EC， 所以? 面A1EC⊥面A1C． 师：生乙的证明给的很新颖．通过延展平面．在更广的范围内寻找线A1D⊥面AC1．充分利用平面几何的知识，解决两条直线A1D⊥A1C1的问题．学习立体几何的同时，不要忘记：当在同一平面内时，平面几何的定理仍然适用． 师：好，下面请同学继续回答第二个问题：“影响异面直线上两点间距离的因素有哪些？” 生：有三种因素： 1．异面直线的距离； 2．两点在直线上的位置； 3．两条异面直线所成的角． 师：很好．下面我们一起看一下，他所叙述的三点能不能影响异面直线上两点的距离，确定了这三点是不是距离就确定了．（取出两根细木棍，为叙述方便，称两点为A、B．演示上述三个方面变化对两点距离的影响．如果回答的三个方面不准确，可通过演示最终解决） 师：通过演示，可以看出，要想确定异面直线上两点的距离，必须要控制这三个因素．一是异面直线的距离——用公垂线段的长控制．二是两点在直线上的位置——用点到公垂线垂足的距离控制．三是两条异面直线的方向——用两直线所成角控制． 下面我们给出这三组数据，一起来推导异面直线上两点间的距离公式． （板书）已知两条异面直线a，b所成角为θ，它们的公垂线段AA′，长度为d．在直线a，b上分别取点E，F，设A′E=m，AF=n，求EF． 师：要画出两条异面直线，需要用一个平面衬托．选择什么样的平面呢？结合已知仔细想一下． 生：因为两条异面直线所成的角是要作出来才好用的，所以选择过直线b且与直线a平行的平面． 师：满足条件的平面有无数个，哪个位置最好？ 生：过公垂线段在直线b上的垂足A，作直线a′∥a，则a′，b确定平面α． 师：这个平面选的好．因为AA′⊥a，所以AA′⊥a′，又AA′⊥b，所以AA′⊥α．下面我们作出这个图形，来求解EF． 师：观察图形，要求EF，需充分利用已知数据，应想办法将条件集中． 生：过E作EG⊥a′于G，连结GF． 因为? a∥a′， 所以? a，a′确定平面β． 因为? AA′⊥α， 所以? β⊥α． 又? EG⊥α′， 因此? EG⊥α， 所以? △EFG为直角三角形， 且? EG∥AA′，