6山东专升本高等数学第六章微分方程.doc

第六章 微分方程 【考试要求】 1．理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解． 2．掌握可分离变量方程的解法． 3．掌握一阶线性方程的解法． 4．了解二阶线性微分方程解的结构． 5．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法． 【考试内容】 一、微分方程的基本概念 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称为方程．未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程． 方程中未知函数导数的最高阶数，称为该微分方程的阶． 如果函数满足一个微分方程，则称它是该微分方程的解． 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同时，这样的解叫做微分方程的通解． 当自变量取某值时，要求未知函数及其导数取给定值，这种条件称为初始条件． 满足给定初始条件的解，称为微分方程满足该初始条件的特解． 二、可分离变量的微分方程 一般地，如果一个一阶微分方程能写成 的形式，也就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和，另一端只含的函数和，那么原方程就称为可分离变量的微分方程．此方程两端同时积分，方程左端对变量 积分，方程右端对变量积分，即 ， 便可求出其通解． 三、一阶线性微分方程 形如 或 的方程称为一阶线性微分方程．“线性”是指在方程中含有未知函数和它的导数的项都是关于、的一次项，而称为自由项． 1．一阶齐次线性微分方程 当自由项时， 称为一阶齐次线性微分方程．它的通解为 ． 说明：在式中，求解时只需求出一个原函数即可． 2．一阶非齐次线性微分方程 当自由项不恒为零时， 称为一阶非齐次线性微分方程．它的通解为 ． 说明：求解时也只需求出一个原函数即可． 四、二阶常系数线性微分方程 1．二阶常系数线性微分方程解的结构 形如 的二阶微分方程，由于方程中未知函数及其各阶导数都以一次（线性）形式出现，故称为二阶常系数线性微分方程．其中、为常数， 是自变量的函数． 当时，方程 称为二阶常系数齐次线性微分方程． 定理1 若 、 是齐次线性方程 的两个解，则 也是它的解，且当 与 线性无关时， 是其通解． 定理2 若为非齐次线性方程的某个特解，为对应的齐次线性方程的通解，则为非齐次线性方程的通解． 2．二阶常系数齐次线性微分方程的解 考查特征方程，设、为其两个特征根，则 （1）若与为两个不相等的实根，则方程的通解为 （、为任意常数）； （2）若与为两个相等的实根，则方程的通解为 （、为任意常数）； （3）若与为两个共轭复根，则方程的通解为 （、为任意常数）； 其中，，． 【典型例题】 【例6-1】求下列微分方程的通解． 1．． 解：分离变量得，，两端积分， 得 ，从而 ， 即原方程的通解为． 2．． 解：分离变量，将原式化为 ， 两端同时积分 ， 得 ， 即 ， 于是方程的通解为 ． 3．． 解：原式可化为 ， 分离变量得 ， 两边同时积分 ， 得 ， 于是方程的通解为 ． 4．． 解：分离变量得 ， 两端积分 ， 得 ． 【例6-2】求下列微分方程的通解． 1．． 解：由题意，，， 故原方程的通解为 ． 2．． 解：原方程变形为，其中 ，， 故原方程的通解为 ． 3．． 解：原方程变形为，其中，， 故原方程的通解为 ． 4．． 解：由题意，，， 故原方程的通解为 ． 【例6-3】求下列微分方程的通解． 1．． 解：所给微分方程的特征方程为 ，即， 有两个不相等的实根 ，，因此原方程的通解为 ． 2．． 解：所给微分方程的特征方程为 ，即， 有两个相等的实根 ，因此原方程的通解为 ． 3．． 解：所给微分方程的特征方程为 ，， 有两个共轭复根，，因此原方程的通解为 ． 4．． 解：所给微分方程的特征方程为 ，即， 有两个不相等的实根 ，，因此原方程的通解为 ． 【例6-4】解微分方程． 解：把原方程变形为，即，则该方程可看作关于的一阶线性微分方程，其中，，故其通解为 ． 【例6-5】求微分方程 满足初始条件的特解． 解：原方程可变形为，其中，， 故方程的通解为 ． 由初始条件，时，，代入上式通解形式中得 ， ， 故所求特解为 ． 【例6-6】求满足初始条件，的特解． 解：所给方程的特征方程为 ，即， 有两个相等的实根 ，因此原方程的通解为 ． 将条件代入通解，得 ，从而 ， 将上式对求导，得 ， 再把条件代入上式，得 ． 于是所求特解为 ． 【例6-7】已知曲线过点，且在点处的斜率为，求该曲线方程． 解：由题意知，，即 ，初始条件为 ． 其中 ，，