7-8常系数非齐次线性微分方程.doc

第8节 常系数非齐次线性微分方程 教学目的：二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 教学重点：二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 教学难点：二阶常系数非齐次线性微分方程的特解求解方法 教学方法：讲授为主，互动为辅 教学课时：2 教学内容： 二阶常系数非齐次线性微分方程 从第二节的讨论知，一阶非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和．而二阶常系数非齐次线性微分方程具有相类似的性质． 定理2 设是二阶常系数非齐次线性微分方程 (3) 的一个特解，而为对应于方程(3)的齐次线性微分方程的通解，则为方程(3)的通解． 由此结论可知，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，可按下面三个步骤来求： ①求其对应的齐次线性微分方程的通解； ②求非齐次线性微分方程的一个特解； ③原方程的通解为． 求齐次线性微分方程的通解的方法前面已讨论过，所以只要研究一下如何求非齐次方程(3)的一个特解就行．限于篇幅, 这里只讨论为以下两种形式的情形． I.其中是常数，是的次多项式： ； II．，其中和是常数，、分别是的次和次多项式，其中有一个可为零． 对于以上两种情形，下面用待定系数法来求方程(3)的一个特解，其基本思想是：先根据的特点，确定特解的类型，然后把代入到原方程中，确定中的待定系数．　 I.型 因为方程(3)右端是多项式与指数函数的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是同一类型的函数，因此，我们推测(其中是某个多项式)可能是方程(3)的一个解，把、及代入方程(3)，求出的系数，使满足方程(3)即可．为此将 ，， 代入方程(3)并消去，得 　　　　　　．　 (4) 如果不是方程(3)的特征方程的根，由于是一个次多项式，要使方程(4)的两端恒等，可令为另一个次多项式，即设为 其中为待定系数，将代入(4)，比较等式两端同次幂的系数，可得含有的个方程的联立方程组，解出得到所求特解 ． 如果是特征方程的单根，即，但 要使(4)式的两端恒等，必须是次多项式，此时可令 并且可用同样的方法确定的系数． 如果是特征方程的重根，即且要使式(4)的两端恒等，必须是次多项式，此时可令 并且利用同样的方法可以确定的系数． 综上所述，我们有以下结论： 如果，则二阶常系数非齐次线性微分方程(3)具有形如 的特解；其中是与同次(次)的多项式，而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为、或． 例 5 求方程的通解． 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端函数形如，其中 先求对应齐次方程 的通解，其特征方程是 ． 特征根 对应齐次方程的通解为 ． 因为不是特征根，因而所求方程有形如 的特解．由于 将它们代入原方程中得恒等式 比较上式两端的同次幂的系数可得 解方程组得故所求方程的一个特解为 从而所求方程的通解为 例 6 求方程的通解． 解 所求方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端函数形如，其中 所求解的方程对应的齐次方程的通解为 由于是二重特征根，所以设所求方程有形如 的特解．将它代入所求方程可得 比较等式两端的同次幂的系数，得．于是得所求方程的一个特解为 最后得所求方程的通解为 II．型 可以推证，如果，则二阶常系数非齐次线性微分方程(3)的特解可设为 其中是次多项式， 而按不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取或． 例 7 求方程的通解． 解 所求解的方程对应的齐次方程的特征方程为 ， 特征根，齐次方程的通解为 ． 因为不是特征根，故所求方程具有形如 的特解，求得 ， ． 代入所求方程并化简得恒等式 比较上式两端和的系数，可得 因此 故 所求通解为 小结： 1．型，特解形式 ， 其中是与同次(次)的多项式，而按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为、或． 2．型，特解形式 其中是次多项式， 而按不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取或． 3．二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，可按下面三个步骤来求： ①求其对应的齐次线性微分方程的通解； ②求非齐次线性微分方程的一个特解； ③原方程的通解为． 作业：习题7-8 1（2）（4）（6）（9）、2（1）（3）．（6）