73二阶常系数线性微分方程.doc

7.3二阶常系数线性微分方程 二阶常系数线性微分方程的一般形式是 ， （1） 其中、是常数，是已知函数.当时，方程（1）变为 , （2） 称其为二阶常系数齐次线性微分方程，当时称方程（1）为二阶常系数非齐次线性微分方程. ７.３.１ 二阶常系数齐次线性微分方程 下面给出二阶常系数齐次线性微分方程的通解的结构定理. 定理1 设函数与是方程（2）的两个特解，且常数，即和线性无关，则函数（为任意常数）是方程（2）的通解. 证明 因为和是方程（2）的两个解，所以 ， 把带入（2），得 =+= 即是方程（2）的解，又因为常数，所以中含有两个独立的任意常数，所以是方程（2）的通解. “ 常数”这一条件很重要.如果（是常数），则 于是有 ， 这里是一个常数，故只含一个任意常数，所以它就不是方程（2）的通解了.实际上，求方程（2）的通解就是求它的两个线性无关的特解. 如何求方程（2）的两个线性无关的特解呢？根据方程（2）的特点，可以看出、、必须是同类型函数，才又可能使方程右端为零，这自然使我们想到函数（为待定常数）有可能是方程（2）的解. 事实上，将，带入方程（2），得 . 因，所以必有 . （3） 这表明，只要是代数方程（3）的根，那么函数就是方程（2）的解.我们称代数方程（3）为微分方程（2）的特征方程，特征方程的两个根，称为特征根. 下面根据特征根的三种不同情形，分别讨论方程（2）的三种通解形式. 1. ，是两相异实根 这样和是方程（2）的两个特解，且常数，即它们线性无关，于是方程（2）的通解为 （为任意常数）. 2. ，是两相等实根 设==，由此得到方程（2）的一个特解.可以证明 是方程（2）的另一个与线性无关的特解.所以方程为（2）的通解为 （为任意常数），(0)是一对共轭复根 此时，可以证明 ， 是方程（2）的两个线性无关的特解.所以方程（2）的通解为 . 【例1】 求微分方程的通解. 解 特征方程为 ， 其特征根为，.所以方程的通解为 . 【例2】 求微分方程满足初始条件的特解. 解 特征方程为 ， 其特征根为.所以方程的通解为 . 将初始条件分别代入上面两式.于是所求特解为 . 【例3】求微分方程的通解. 解 特征方程为 其特征根为一对共轭复根（）.所以 方程的通解为 综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程（2）通解的步骤如下： 第一步：写出微分方程所对应的特征方程； 第二步：求出特征方程的两个根，； 第三步：根据特征根的不同情况，按下表（如表7-1所示）写出方程（2）的通解. 表7-1 7.3.2二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶