《高等数学同济五版》讲稿WORD版-第12章微分方程.docx

微分方程教学目的：1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。会用降阶法解下列微分方程：，和理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。教学重点：可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法可降阶的高阶微分方程，和二阶常系数齐次线性微分方程；自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。4、欧拉方程§12 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行研究找出未知函数来这就是解微分方程例1 一曲线通过点(1 2)且在该曲线上任一点M(xy)处的切线的斜率为2x求这曲线的方程解设所求曲线的方程为yy(x)根据导数的几何意义可知未知函数yy(x)应满足关系式(称为微分方程) (1) 此外未知函数yy(x)还应满足下列条件x1时y2简记为y|x12 (2)把(1)式两端积分得(称为微分方程的通解)即yx2C (3) 其中C是任意常数把条件“x1时y2”代入(3)式得 212C由此定出C1把C1代入(3)式得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x12的解)yx21例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶当制动时列车获得加速度04m/s2问开始制动后多少时间列车才能停住以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米根据题意反映制动阶段列车运动规律的函数ss(t)应满足关系式 (4)此外未知函数ss(t)还应满足下列条件t0时s0简记为s|t0=0s|t0=20 (5)把(4)式两端积分一次得 (6)再积分一次得s02t2 C1tC2 (7)这里C1C2都是任意常数把条件v|t020代入(6)得 20C1把条件s|t00代入(7)得0C2把C1C2的值代入(6)及(7)式得v04t20 (8)s02t220t (9)在(8)式中令v0得到列车从开始制动到完全停住所需的时间(s)再把t50代入(9)得到列车在制动阶段行驶的路程s025022050500(m)解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米s04并且s|t0=0s|t0=20把等式s04两端积分一次得s04tC1即v04tC1(C1是任意常数)再积分一次得s02t2 C1tC2 (C1C2都C1是任意常数)由v|t020得20C1于是v04t20由s|t00得0C2于是s02t220t令v0得t50(s)于是列车在制动阶段行驶的路程s025022050500(m)几个概念微分方程表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫微分方程常微分方程未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程偏微分方程未知函数是多元函数的微分方程叫偏微分方程微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫微分方程的阶x3 yx2 y4xy3x2 y(4) 4y10y12y5ysin2xy(n) 10一般n阶微分方程F(xyyy(n) )0y(n)f(xyyy(n1) ) 微分方程的解满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解确切地说设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数如果在区间I上F[x(x)(x)(n) (x)]0那么函数y(x)就叫做微分方程F(xyyy(n) )0在区间I上的解通解如果微分