2012北京各城区解答题创新综合题文科.docx

[东城一模20]对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和,即,.（Ⅰ）设函数，求集合和；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设函数，且，求证：.（Ⅰ）解：由，得，解得； …………1分 由，得，解得. 所以集合，. ………4分（Ⅱ）证明：若，则显然成立；若,设为中任意一个元素，则有，所以，故，所以. （Ⅲ）证明：由，得方程无实数解，则. 当时，二次函数（即）的图象在轴的上方，所以任意，恒成立，即对于任意，恒成立，对于实数，则有成立，所以对于任意，恒成立，则. …………12分②当时，二次函数（即）的图象在轴的下方，所以任意，恒成立，即对于任意，恒成立，对于实数，则有成立，所以对于任意，恒成立，则.综上，对于函数，当时，. …………14分[东城二模20]个正数排成行列, 如下所示：其中表示第行第列的数.已知每一行中的数依次都成等差数列，每一列中的数依次都成等比数列，且公比均为，，，. （Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）记第行各项之和为（≤≤），数列，，满足，（为非零常数），，且，求的取值范围；(Ⅲ)对（Ⅱ）中的，记，设，求数列中最大项的项数.解：（Ⅰ）因为， 所以. 又成等差数列， 所以. ………………4分（Ⅱ）设第一行公差为，由已知得,, 解得. 所以. 因为.所以, 所以.………6分 因为， 所以. 整理得.而 ，所以， 所以是等差数列. ………8分故.因为，所以.所以.所以，所以.所以的取值范围是 . …………10分(Ⅲ)因为是一个正项递减数列，所以当，当.（，）所以中最大项满足即………12分解得≤.又，且, 所以，即中最大项的项数为. …………14分[西城一模20]对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且.这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．（Ⅰ）试问经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）设，．若，且的各项之和为．（ⅰ）求，；（ⅱ）若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由．（Ⅰ）解：数列不能结束，各数列依次为；；；；；…．以下重复出现，所以不会出现所有项均为的情形．………………3分（Ⅱ）解：（ⅰ）因为的各项之和为，且，所以为的最大项，所以最大，即，或．………………5分当时，可得由，得，即，故．……………7分当时，同理可得，．………………8分（ⅱ）方法一：由，则经过次“变换”得到的数列分别为：；；；；；．由此可见，经过次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列，与数列“结构”完全相同，但最大项减少12．因为，所以，数列经过次“变换”后得到的数列为．接下来经过“变换”后得到的数列分别为：；；；；；；，……从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过次“变换”得到的数列各项和最小，的最小值为．方法二：若一个数列有三项，且最小项为，较大两项相差，则称此数列与数列“结构相同”．若数列的三项为，则无论其顺序如何，经过“变换”得到的数列的三项为(不考虑顺序)．所以与结构相同的数列经过“变换”得到的数列也与结构相同，除外其余各项减少，各项和减少．因此，数列经过次“变换”一定得到各项为 (不考虑顺序)的数列．通过列举，不难发现各项为的数列，无论顺序如何，经过“变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过次“变换”，得到的数列各项和最小，故的最小值为．…………13分[西城二模20]若正整数，则称为的一个“分解积”．（Ⅰ）当分别等于时，写出的一个分解积，使其值最大；（Ⅱ）当正整数的分解积最大时，证明：中的个数不超过；（Ⅲ）对任意给定的正整数，求出，使得的分解积最大．（Ⅰ）解：，分解积的最大值为；………………1分，分解积的最大值为；………………2分，分解积的最大值为．………………3分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，中可以有个．………………4分当有个或个以上的时，因为，且，所以，此时分解积不是最大的．因此，中至多有个．………………7分（Ⅲ）解：①当中有时，因为，且，所以，此时分解积不是最大，可以将加到其他加数中，使得分解积变大．………………8分②由（Ⅱ）可知，中至多有个．③当中有时，若将分解为，由①可知分解积不会最大；若将分解为，则分解积相同；若有两个，因为，且，所以将改写为，使得分解积更大．因此，中至多有个，而且可以写成．………………10分④当中有大于的数时，不妨设，因为，所以将分解为会使得分解积更大．…………