3培优辅导观察归纳与猜想(含答案)-.doc

3.创造的基石──观察、归纳与猜想 知识纵横 当代著名科学家波普尔说过：我们的科学知识，是通过未经证明的和不可证明的预言，通过猜测，通过对问题的尝试性解决，通过猜想而进步的。 从某种意义上说，一部数学史就是猜想与验证猜想的历史。20世纪数学发展中巨大成果是，1995年英国数学家维尔斯证明了困扰数学界长达350多年的“费尔马大猜想”，而著名的哥德巴赫猜想，已经历经了两个半世纪的探索，尚未被人证实猜想的正确性。 当一个问题涉及相当多的乃至无穷多的情形时，我们可以从问题的简单情形或特殊情况入手，通过对简单情形或特殊情况的试验，从中发现一般规律或作出某种猜想，从而找到解决问题的途径或方法，这种研究问题的方法叫归纳猜想法，是创造发明的基石。 例题求题 【例1】(1)用●表示实圆,用○表示空心圆,现有若干实圆与空心圆按一定规律排列如下: ●○●●○●●●○●○●●○●●●○●○●●○●●●○…… 问:前2001个圆中,有_______个空心圆. (2001年江苏省泰州市中考题) (2)古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,它有一定的规律性,则第24个三角形数与第22个三角形数的差为__________.(2003年舟山市中考题) 思路点拨 (1)仔细观察,从第一个圆开始,若干个圆中的实圆数循环出现,而空心圆的个数不变;(2)每个三角形数可用若干个数表示. 解:(1)667 提示:每9个圆一组中实圆个数循环出现,而空心圆每组3个; (2)(1+2+3+…+24)-(1+2+3+…+22)=47. 【例2】观察下列图形,并阅读图形下面的相关文字: 两条直线相交, 三条直线相交, 四条直线相交, 最多有1个交点 最多有3个交点 最多有6个交点 像这样,10条直线相交,最多交点的个数是( ) A.40个 B.45个 C.50个 D.55个 (2001年湖北省荆门市中考题) 思路点拨 随着直线数的增加,最多交点也随着增加,从给定的图形中,探讨每增加一条直线,最多交点的增加数与原有直线数的关系,是解本例的关键. 解:选B.提示:每增加一条直线,最多交点的增加数与原有直线数相同,问题就转化为求1+2+3+…+9的和. 【例3】化简×+1 (第18届江苏省竞赛题) 思路点拨 先考察n=1,2,3时的简单情形,然后作出猜想,这样,化简的目标更加明确. 解:原式=102n 【例4】古人用天干和地支记次序,其中天干有10个:甲乙丙丁戊己庚辛壬癸;地支有12个:子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥,将天干的10个汉字和地支的12个汉字分别循环排列如如下两行: 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥…… 从左向右数,第1列是甲子,第3列是丙寅…,问当第二次甲和子在同一列时,该列的序号是多少? (第12届“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 把“甲”、“子”在第一行、第二行出现的位置分别用相应的代数式表示，将实际问题转化为数学问题求解。 解:提示:“甲”在第一行出现的位置是10m+1,m=0,1,2,…，“子”在第二行出现的位置是12n+1,n=0,1,2…;故“甲”和“子”在同一列时应有10m+1=12n+1,即10m=12n，第二次“甲”、“子”在同列时应是使得10m=12n成立的最小正整数m和n，解得m=6,n=5. 【例5】图(a)、(b)、(c)、(d)都称作平面图. 图 顶点数 边数 区域数 (a) 4 6 3 (b) (c) (d) (1)数一数每个图各有多少个顶点,多少条边,这些边围出了多少区域,将结果填入表中(其中(a)已填好). (2)观察表,推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？ (3)现已知某一平面图有999个顶点和999个区域,试根据(2)中推断出的关系,确定这个图有多少条边? (第七届“华杯赛”决赛试题) 思路点拨 从特殊情况入手,仔细观察、分析、试验和归纳，从而发现其中的共同规律，这是解本例的关键。 解:(1)略；(2