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第四章：不定积分 二、本章各界教学内容及学时分配 第一节 不定积分的概念与性质 2学时 第二节 换元积分法 4学时 第三节 分部积分法 2学时 三、本章教学内容的重点和难点 第一节 不定积分的概念与性质 讲稿内容 ，有或，则称函数为在区间上的一个原函数。 例：①，，在内是的原函数。 ②在内是的原函数，因， ③在内是的原函数，因 我们要问：是否任何函数均有原函数呢？如果不是，那么具备什么条件的函数才有原函数呢？原函数既然不唯一，那么两个原函数之间有什么关系呢？ 例 函数在上没有原函数。 解：设在有原函数，则，必取如下形式： ，又因为在连续，所以有 故，但这个函数在不可导，故符号函数没有原函数。 原函数的存在定理：若在某区间内连续，则在该区间内的原函数一定存在。 由于初等函数在其定义区间上均连续，所以初等函数在其定义区间上均有原函数。 原函数只要存在就不唯一，任何两个原函数之间相差一个确定的常数。事实上， 设均是的一个原函数， 则，即，即有下面定理。 定理：如果在区间内，函数为的一个原函数，则是的全体原函数，其中为任意常数。 我们引进不定积分的概念： 定义2：函数在I的全体原函数叫做在I的不定积分，记作，即=，其中叫做积分号，函数叫做被积函数，叫做被积表达式，而叫做积分变量。 例1 求 解 因为，即是的一个原函数。故=+C 例2 求，，， 例3 设曲线过点，且其上任一点的切线钭率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程。 解：设所求曲线方程为，则对任意一点有 ，由知，进一步有。 注意积分常数的任意性，同时注意它有可确定性。 一般地，的原函数的图形称为的积分曲线；的图形称为积分曲线簇，其图形布满整个实平面，即不定积分在几何上表示的是积分曲线簇。 二、积分与微分的关系：设的原函数为 则 由此可见，若不计常数C，则积分号与微分符号不论先后，只要它们连在一起就互相抵消。这说明：积分与微分在不计任意常数时互为逆运算。 三、基本积分表 由积分与微分的关系容易得到下列基本积分公式。（具体解释如何由微分公式得积分公式，如何验证公式的正确性），见教材。 例 求 例 设的一个原函数为，求 解 因， 所以 例 设是积分曲线族中过点的曲线，求 解： 由=，过点 得： 即，故 四、不定积分的性质 性质1 函数和的不定积分等于不定积分之和，即 （3） 或 性质2： （是常数，） 利用基本积分表以及不定积分的性质，我们可以求出一些简单函数的不定积分。 例7 ： 应注意两点：（1）在分项积分后，每个不定积分的结果都含有任意常数，但由于任意常数之和仍是任意常数，因此只在式子后写出一个任意常数就行了。 （2）检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看它的导数是否等于被积函数。 例 例8 求 解：基本积分表中没有这种类型，把被积函数变形，化为已有的积分公式，逐项积分： 例9 求 解 ：被积分函数为假分式，恒可化为多项式加真分式，一般有两种方法：加项减项法或多项式的除法。 例 例10 例11 例12 == 例14 == 第二节 换元积分法 一、第一换元法（凑微分法） 一般地，若 则 写为定理即： 具有原函数，可导，那么是的原函数，即有换元公式 = （1） 凑微分法的实质是凑成基本积分公式。 ；（2）；（3）。 例2 （1）（公式）； （2）（公式）（3）（公式） （4）（公式） （5）（公式） （6）（公式）= 因为 所以。—— 公式 （7） 。——公式 例3 求下列积分： （1）=。 同样可得 ， （2），同理可得等 （3）=。 （5）= （6） （7）= （8）= （9） 例4 计算下列积分： （1）=。 （2）=。 （3） 例5 设 ，求， 解1 ：令，则 即= 解2：因，故 即 ， 即=用凑微分法的题型归类如下： ，实际上是将第一换元公式中的具体化。 （1） 例 等。 （2） 例 （3） 特别地， 例 （4） 例 （5）等 例 （6） 等。 例 （7）等。利用积化和差公式。 （8） 降次——倍半角公式。 （9）拆项法 （10）加项减项法 （11）同乘或同除因式法 如：=。 二、第二换元法 第二换元法是第一换元法的相反情形： 第一换元法： 第二换元法：，找出原函数，变量代回。 定理2 设（1）是单调、可导函数，并且 （2）具有原函数， 则是的一个原函数（其中是的反函数），即有换元公式： == 对于形如的无理函数的积分，可用第二换元法求解， 主要用消去根式。 例1 计算下列积分 （1）； 解 设，满足定理条件，于是， 从而有 于是——公式 （2）； 解：可以利用来化去根式，令， 那么 =