Chapter2一阶微分方程的初等解法.doc

一阶微分方程的初等解法 教学目的 1.掌握一阶微分方程的初等解法； 2.掌握一阶齐次线性微分方程的解法； 3.掌握一阶非齐次线性微分方程的常数变易法； 教学重点、难点 一阶非齐次线性微分方程; 教学时数 16学时 §2.1 变量分离方程与变量替换 教学目的 1.掌握可分离变量方程的解法； 2.掌握齐次型方程的解法。 教学重点、难点 可化为齐次型方程的解法； 教学时数 4学时 教学过程 2.1.1 变量分离方程 形如的方程称为变量分离方程。如果((y)(0，可将方程变形为：。两边积分，可得： 例1 求解方程 解：变量分离,两边积分有： 可得通解为. 例2 求解方程 解：变量分离 ，两边积分得： 即 () 所以通解为(k 0为任意常数) 考虑初始条件 t=0 时,x(0)=x0, y(0)=y0代入得： 即解为 或. 例3 求解人口增长的logistic模型 . 解：变量分离得 两边积分得： 化简得 得 将初始条件t=0 时,N(0)=N0代入得 从而可得通解为 . 例4 求以下方程的通解,其中P(x)是x的连续函数. 解：变量分离得 两边积分得，即 即或 课堂练习： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2.1.2 可化为变量分离方程的类型 情形1 称为齐次方程, g是连续函数. 作变量替换,则y=ux，则有 则方程化为 变量分离得 例5 求解方程 解：作变量替换,则 方程化为,即 变量分离得： 两边积分得，即或 例6 求解方程 解：改写方程，令,则y=ux, 即 从而方程化为：，分离变量得： 两边积分得： 即： 故解为,或y=0. 形如2 ①方程可化为,通解为 ②,可令,则有为变量分离方程,可求其解. ③ c1=c2=0, 此时方程可化为情形1 的类型,可求其解. c1,c2不全为零,考虑作变换x=X+(, y = Y +(,使原方程化为上述a的情形 将X=x((,Y=y((代入原方程有 令 这是关于变量(, ( 的二元一次方程组,可求出(, ( 的值后,将原方程化为的情形,即可转化为情形a. 例7 求解方程 解：先解方程组可得x=1,y=2. 作变量替换:X=x(1,Y=y(2;即x=X+1,y=Y+2,代入原方程可得 令,即Y=ux,,原方程化为 两边积分可得即 将X=x(1,Y=y(2代回可得 整理可得. 2.1.3 应用举例 例8 电容器的充电和放电。如图RC电路： 找出电容充、放电过程中，电容C两端的电压uC随时间t的变化规律。 解：充电时，由闭合电路的基尔霍夫定律，有 电量即得 分离变量得： 两边积分得： 从而，由t=0时，uC=0，代入后可得 例9 按照灯反射镜面的形状 在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状。 解： 取光源所在处为坐标原点，而x轴平行于光的反射方向(如图)。设所求曲面由曲线 绕x轴旋转而成，则求反射镜面的问题归结为求Oxy平面上的曲线y=f(x)的问题。 可知，(ONM=(TMS=(NMO=(PMQ=(， 所以|OM|=|ON| 而，|OP|=x， |MP|=y， |OM|= 所以 可得方程： 即： 可求解得平面曲线方程为： 从而旋转曲面方程为旋转抛物面：. 作业： P42 1．（3）~（6） 2．（2），（3） §2.2 线性微分方程与常数变易法 教学目的 1.掌握一阶齐次线性微分方程的解法； 2.理解一阶非齐次线性微分方程常数变易法。 教学重点、难点 一阶非齐次线性微分方程的解法； 教学时数 4学时 教学过程 一阶线性微分方程 形如： 若Q(x)＝0则方程化为：，称为一阶齐次线性微分方程；否则称为一阶非齐次线性微分方程。 一阶齐次线性微分方程的通解为： 对于一阶非齐次线性微分方程，使用常数变易法： 设为其一个解，其导数为： 代入原方程得 即 积分可得： 从而可得原方程通解为： 例1 求方程的通解. 解：方程变形为: (1)常数变易法 齐次型方程的通解为: 设非齐次型方程的解为:y=C(x)(x+1)n 则有： 代入方程中可得 即：，化简得：，即： 从而原方程的通解为:y=(ex+c)(x+1)n. (2)公式法 例2 求方程的通解. 解：方程变形 将x视为函数, y视为自变量.且有P=2/y, Q= (y. 对应齐次型方程为 易知其通解为: 设非齐次型方程的解为: 则有 原方程化为 即 从而原非齐次型方程的通解为 伯努利方程 形如：的方程(n(0,1). 方程两端除以yn,可得 令z=y1-n，则，即： 代入原方程有 这是一阶线性微分方程,可求解. 例3 求方程的通解. 解：两边除y2 得: 令 z=1/y, 则有 原方程可化为: 这是非齐次线性方程,记 P= (6/x,