Lebsgue测度.doc

1.4 Lebsgue测度 1.4.1 环上的测度 定义1.4.1 设是直线上左开右闭有限区间的全体所成的集类，是直线上左开右闭有限区间所成的环（即：）. 在上定义测度：对，令，就表示区间的长度。 中的元可以写成中有限个两两不相交的元的并，称这种把中的元分解成中有限个两两不相交的元的并的过程为，设是的一个初等分解，，且，令. 引理1.4.1 的值只与有关，而与的初等分解的具体形式无关。 引理1.4.2 上面作出的环上的集函数有下列性质： (1) 集函数有有限可加性； (2) 若，且，，则 ； (3) 集函数有(有限)次可加性：若，且,则 . 定理1.4.1 上的集函数是上的测度。 证明 显然，只要证明在上具有可列可加性。 设，，且. 由引理1.4.2(2)知：对任何自然数，都有，且. 令，即得 下面证明： 设的一个初等分解是，每个也有初等分解，因为是可列的，所以所有分解所得的小区间也是可列个，设为，引理2()知：. 对，（不妨要求）作闭区间. 又作区间，则这列开区间覆盖了，因此也覆盖了每个闭区间. 由Borel有限覆盖定理知：可以选出有限个开区间覆盖住这些闭区间。设这些开区间为，则有 . 但是彼此不交的，所以 由引理.4.2 (3)知： . 因为是任意正数，所以 ，即 综上所述，得 证毕！ 1.4.2 外测度 定义1.4.2 是直线上左开右闭有限区间所成的环，记 , (1.4.1) 即：是直线上一切子集全体所成的集类，即. 对，记 (1.4.2) 则称为由测度所引出的 (1) ； (2) （非负性）对，有； (3) （单调性）若，且，则； (4) 对，有； (5) （次可列可加性）对，有. 注 一般来说，在上不具有可列可加性，甚至有限可加性也不满足，因而不是上的测度.1.4.3 Lebsgue测度 定义1.4.3 设（即），若对（即），都有 (1.4.3) 则称是m*-Lebsgue可测集，简称L-可测集. 可测集的全体记为, (1.4.3)称为集的Caratheodory条件. (1.4.3)式表明中的任何集能够分割测量中的外测度，即：若中的两个集，一个是的子集（例如），另一个是的子集（例如）时，则它们的和集（例如）的外测度就等于这两个集的外测度之和。这就是中集的. In fact, 由(1.4.3)得： 命题1.4.1（Caratheodory条件的推广） 若，且中至少有个属于，则 . (1.4.4) 定理1.4.2 (1) 若，则. (2) . (3) 是一个环(其实是代数)。(4) 是上的完全测度，并称为上的Lebsgue测度记为. (5) 是有限的。 1.4.4 Borel集 定义1.4.4 中的每个集称为直线上上的Borel集。Borel集的全体通常记为. 1.4.3 (1) 是直线上上代数，. (2) 单点集、有限集、可列集都是Borel集，且它们的Lebsgue测度是零。 (3) 区间(可取)、开集是Borel集，且 ，， 其中是的构成区间全体。 (4) 闭集是Borel集，当(有限开区间)时， ； 当是无界闭集时， . (5) (是上的开集，)是Borel集，并称是 (是上的闭集，)是Borel集，并称(6) 设是定义在上的两个有限测度，若对，则对，有. 例1.4.1 证明上的Cantor集的Lebsgue测度是零。，其中 ，. 则上的Cantor集是. 是两两不交的开区间，由Lebsgue测度. 于是 . 证毕！ 注1 我们知道：Cantor集是是完全集. 且 (). 这个例子说明：确实存在测度为零的不可列集。※ 注2 (1) 确实有不是Borel集的Lebsgue可测集。如果仅仅要求证明这个事实，还是比较容易的。用势的知识可以证明直线上Borel集全体的势是()，而Lebsgue可测集全体的势是. Lebsgue不可测集全体的势也是. (2) 是上完全的测度，但在B上则可能不再是完全的。 In fact, 因为Cantor集是非空完全集，它的势是，所以它的一切子集的全体的势是. 因为Cantor集的Lebsgue测度是零，所以它的一切子集都是Lebsgue可测集，因此. 另一方面，直线上一切子集的全体的势也是，而，因此. . 所以Lebsgue可测集比Borel集要多得多。直线上任意一个集不一定是Lebsgue可测集. 但要造一个Lebsgue不可测集则不是一件容易的事，因为通常造集往往都是从区间出发，经过一系列并、交、差等运算得出的，而这样的集都是Borel集，当然是Lebsgue可测集。因此要造不可测集必须从别的方面入手