一次不定方程的解法.doc

一次不定方程的解法 我们现在就这个问题，先给出一个定理． 　　定理 如果是互质的正整数，是整数，且方程 　　有一组整数解则此方程的一切整数解可以表示为 其中…　　证 因为是方程的整数解，当然满足 　　因此 ． 　　这表明，也是方程的解． 　　设是方程的任一整数解，则有 　　②得 ④ 由于，所以，即，其中是整数．将代入，即得．因此可以表示成，的形式，所以，表示方程的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解例1 求的整数解．解法1 将方程变形得 　　因为是整数，所以应是的倍数．由观察得是这个方程的一组整数解，所以方程的解为 　　解法2 先考察，通过观察易得 ， 　　所以 ， 可取从而 　　可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式． 例2 求方程的非负整数解． 解 因为，所以方程两边同除以得 　　由观察知，是方程 　　的一组整数解，从而方程的一组整数解为 由定理，可得方程的一切整数解为 　　因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有 　　由于是整数，由得，所以只有两种可能． 　　当；当．所以原方程的非负整数解是 　　例3 求方程的所有正整数解． 　　分析 这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解． 　　解 用方程 　　的最小系数7除方程的各项，并移项得 　　因为是整数，故也是整数，于是． ③ 令（整数），由此得 ④ 　　由观察知是方程的一组解．将代入得代入得．于是方程有一组解，所以它的一切解为 　　由于要求方程的正整数解，所以 　　解不等式，得只能取．因此得原方程的正整数解为 　　当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明． 　　例4 求方程的整数解． 解 　　为用和表示，我们把上述辗转相除过程回代，得 　　由此可知是方程的一组整数解．于是 　　是方程的一组整数解． 　　所以原方程的一切整数解为 　　例5 某国硬币有分和分两种，问用这两种硬币支付分货款，有多少种不同的方法？ 　　解 设需枚分，枚分恰好支付分，于是 　　所以 由于，所以，并且由上式知．因为，所以，从而，的非负整数解为 ， ， ， 　　所以，共有4种不同的支付方式． 　　说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程． 多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程． 　　例6 求方程的整数解． 　　解 设，即，于是．于是原方程可化为 　用前面的方法可以求得的解为 是整数） ② 　的解为 是整数） ③ 　　消去，得 都是整数） 　　大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例． 　　例7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用个钱买只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？ 　　解 设公鸡、母鸡、小鸡各买只，由题意列方程组 ① ② 化简得 　　②得 　　即解得 于是的一个特解为 　　由定理知的所有整数解为 　　由题意知，，所以 解得 ∴ 由于是整数，故只能取，而且还应满足 ． 26 4 18 78 27 8 11 81 28 12 4 84 即可能有三种情况：只公鸡，只母鸡，只小鸡；或只公鸡，只母鸡，只小鸡；或只公鸡，只母鸡，只小鸡． 6