不动点及收敛理论.doc

第四章 一元方程求根/非线性方程组数值解法初步 4．1 一元方程求根的主要概念、思想和二分法 主要概念 包含一个未知量的的一元方程的一般形式记为 通常，考虑如下的情形： 一元函数在某个区间比如上连续，即的情形。 是的二次以上的代数多项式，如 这时称方程为多项式方程或高次代数方程。 （3） 不是代数多项式，如 , , 这称为超越方程，也是本章的研究内容。 通常，对于不是的线性函数的方程，人们统称为一元非线性方程，简称一元方程或非线性方程。 在实际应用中，可能是非常复杂的表达式，甚至还包含多个其他参数，令人眼花缭乱。因此，首先一定要识别未知量是哪一个，是不是这里所研究的一元非线性方程的情形。只有这样，才能使用一元非线性方程求根的计算方法。我们将看到，非线性方程的求根的方法主要是迭代法。 方程的解，即，也称为方程的根，或函数的零点。这里 可为实数或复数，但我们主要考虑实数根。 我们熟悉一元二次方程有单根与重根 的概念。推广到一般非线性方程，若可表示为 其中 为正整数，，则称是方程的重根，或函数的重零点。当时，是方程的单根，或函数的单重零点。由此，若是的重根且充分光滑，则意味着 2. 主要思想 如果假设方程在区间有根，就称为为方程的有根区间；如果还已知方程在上有且只有一个根，即有根区间把根隔离了，那样更好。显然，在已知有根区间的前提下，把有根区间不断缩小，便可逐步得出根的近似值。这正是一元非线性方程求根的基本思想。 这样说来，方程求根的全过程，就是先谋求“有根区间”或“根的邻域”。然后展开对根的粗粗糙近似值的精确化。 寻找有根区间（包括根的邻域），通常有这样的一些线索： 如果是次多项式，则由代数基本定理知，在复数域内方程有个根；如果还是实系数多项式，则复根将成对出现。 对一般方程，利用连续函数性质，如果，且 （即与异号），则方程在内至少有一实根；又在中不变号且不为0，则方程在内只有惟一根。 如果希望找出方程的所有实根，则可用一个适当的步长，对的定义区间进行“扫描“，利用(2)的方法有哪些信誉好的足球投注网站出对应的有根区间。 此外，对具体的问题也可使用具体的试算手段。 在有根区间或根的邻域的基础上，各种著名的求根方法（如第一张介绍的不动点迭代法、Newton迭代法等等）就从这里开始，把粗糙近似值进行不断的精确化，直到满足精度为止。 3．二分法（对半法） 二分法本来是一个独立的求根方法，在计算机查找算法中也是很常用的简单算法。但在数值计算中，直接用它来求根已经不多，但用它来快速缩小有根区间则相当有效。 无妨设 ，，则为有根区间。记，第一次计算中点 及其函数值，这时有 ，于是得新有根区间 且 第二次计算中点 及其函数值，这时有，于是得新有根区间 且 如此继续，第次计算中点 及其函数值后，可得新有根区间 且 于是在中任取一点，如取或（其中一个就是）或其他，比如记为（不一定是中点）作为方程根的近似值，则至少有误差估计 （若取的中点 ，则） 可见 必收敛于. 二分法简单可靠，只要求连续，收敛性总能得到保证。其缺点是不能用来求复数和偶重根。二分法主要用来快速(一半一半地)缩小有根区间，从而可提供较好的精确化初值。如果用来求的根，通常不假定内只有一个根，而是先用一个适当的步长对进行扫描有哪些信誉好的足球投注网站，当发现哪个子区间有根时，便调用上述二分算法过程求出其中之根。所谓适当的步长，就是既不因为过大而漏掉包含的根，也不因过小而耗费计算精力。 4．2 不动点迭代法及其收敛性理论 1．迭代法 (不动点迭代法) 迭代法是求解一元非线性方程 的主要方法。其做法是（类似线性代数方程组的迭代法）：将方程改写为等价方程 这时，方程成为“隐式”形式，除非是的线性函数，否则不能直接算出它的根。对此，从某个初始值开始，对应构造迭代公式（格式） 这就可确定序列（因是单变量，所以迭代标记写为下标即可）。 如果有极限 并且由 式两边取极限，可知就是方程的根，这时称迭代公式是收敛的。实际求解中，只有对收敛的才有意义，但不能做无穷多步，因此，按精度要求，取某个迭代值作为方程的根的近似值，这种求根的方法称为迭代法，式中 称为迭代函数。 这里，由于，直观看来，即解经计算后仍等于（岂不是没有动），因此，称是函数的一个不动点，公式也称为不动点迭代公式，非线性方程的迭代法也称为不动点迭代法。注意到迭代公式在求时只依赖于，这称为单步迭代。 例4.2.1 用不动点迭代法求方程在内的一个实根。 解： 将方程改写成等价形式。 先考虑方法一： 即迭代函数 ，从而可得迭代公式 取 ，做迭代计算，发现所得的序列是收敛的。 考虑方法二：