不可约张量tmp.doc

§24 不可约张量算符 §24—1 张量和张量算符 张量描写经典系统的一种与空间转动有关的属性。张量由一组若干个量所组成，当系统处于空间某一方位时，这组量各取一定的数值，而当系统进行一个转动，处于另一方位时，这组量则取新的数值，新老数值之间按与转动（）有关的确定的规律进行变换。 例如，在取定一组坐标（i，j，k）之后，系统的位置r 的三个分量就是一个张量，在转动（）下它的变化规律是 式中为（22.14）式。与此类似，凡描写经典系统的矢量，如动量、角动量等，都满足上式的变换规律： （24.1） 此外，还有一些与转动无关的标量s,在转动下是不变的，这也是一种规律： （24.2） 又如并矢式ab，它有9个分量，在转动下的变换规律是 （24.3） （）是以双下标排序的，这9个量也构成一个张量。上述在在直角坐标下的分量构成的张量称为直角张量；标量s,矢量v和并矢ab分别称为零秩，一秩和二秩直角张量。同样也可以定义三秩以上的张量；秩直角张量的分量数为。 对于微观系统，所有张量的分量都成为算符，而张量本身则成为张量算符。例如 sS, V, abAB 这些算符称为直角张量算符。张量算符在转动下变换的规律（除零秩外）与张量的规律不同，根据（19.15）式，矢量算符的变换为 V=D(Q)V(Q)=V 所以一秩直角张量算符的变换为 （24.4） 二秩张量算符的变换规律为 （24.5） 现在来分析一下二秩直角张量算符。我们看到高秩张量算符的变换规律比低秩的要复杂一些。二秩张量共有9个分量，其变换规律是（24.5）式。但是，这9个分量中却隐藏着一些变换规律更为简单的量，就是说，这9个分量的适当的线性叠加，它的变换规律可以更为简单。例如就是按零秩张量变换的，而下列三个线性叠加： 则正好是一秩直角张量A×B的三个分量。 于是，提出了一个问题，能不能设法把高秩张量中的那些暗含的低秩的部分分离出来，而只留下变换规律真正复杂的部分？或者也可以这样说，直角张量的分秩方法并不好，能不能把其分量重新组合成另外一种类型的张量，使这种张量按变换的简单和复杂来分秩？ 为回答这一问题，从群论角度作一分析。将（24.4）式和群的表示与基矢之间的关系式（20.2）式比较，是三维转动群的一个三维不可约表示，而一秩直角张量算符 正好是三个表示基矢。这三个基矢构成了一个三维矢量空间，空间中的矢量是这三个基矢的各种叠加。这个空间称为转动群的张量表示空间。 转动群的标准的三维不可约表示是[见（22.42）式]，其中和的取值为1，0，-1；而是与等价的（见练习22.9）： （24.6） 变换的幺正矩阵为 0 0 0 0 1 - 0 - 0 0 1 0 （24.7） 的行序号为m=1，0，-1，列序号为,而则与之相反。可见，转动群的标准表示也是在刚刚建立的张量表示空间中的矩阵，它的表示基矢可以如下求出。 在（24.4）式中加入,并用右乘，得 （24.8） 由此知在上述张量表示空间中，的表示基矢是 （24.9） 具体地有 （24.10） 这时（24.8）式成为 （24.11） 算符{}构成另外一种类型的张量算符，称为一秩球面张量算符。它与一秩直角张