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从欧几里得到微分几何什么是几何学 陈省身 整理：林丽明 几何原本 球面几何与非欧几何 坐标几何 群的观念 黎曼及克莱恩的几何学 联络、矢量丛、规范场论 亏格、结、圆周丛 规范场论的基本方程式 DNA 的基本公式 几何原本 在差不多一百年前，几何就是欧几里得。他在公元前三百年左右写了一部大书，中文叫做《几何原本》。从这本书我们可以看出：在当时的社会，几何并不被大家所注意，所以像欧几里得这样伟大的人，我们也不大知道他的生平。大致说起来，他是属于公元前365～275年间的人物，这是大致算的时间，并不表示他活了90岁。 这本书是人类文化史上一部非常伟大、有意义的著作，它的主要结论有两个： 一.勾股定理：有一直角三角形 ABC，则长边的平方会等于其它两边的平方和。由几何方面来说，如果我们在三边上各作一个正方形，那么两个小正方形的面积和就会等于大正方形的面积（见图一）。 图一 c2=a2+b2 二.三角形三内角之和等于 180°，如果以弪 (radian) 为单位，也可以说三角形三内角之和等于 π 这本书在当时受到重视，不单只是为了学几何，主要还要学一种逻辑推理的方法。欧几里得用几个很明显的事实──公理，把几何的结论从公理用逻辑的方法推出。而在他所列出的公理当中，较受争议的是平行公理。平行公理原来是说：有两条直线被一直线所截，如果截角的和小于 180°，那么这两条直线在充分延长后，必相交于一点。（见图二） 图二 另一个简单的说法是：假使有一直线和线外一点，那么通过那个点就刚刚好只有一条直线和原来的直线平行。平行者，就是这两条直线不相交（见图三）。 图三 这个平行公理在所有公理之中是最不明显的，所以数学家或是对数学有兴趣的人便想从其它的公理去推得平行公理。而这努力延持了两千年，后来证明这是不可能的，于是有了非欧几何学的发现，这在人类思想史上是非常特别、有意思的事实。因此我感觉到这是西洋数学和中国数学不同的地方。 《九章算经》是中国古代最有名的数学书，一共九章，第九章谈的是所谓勾股，勾、股就是直角三角形中较短约两个边，一个叫做勾，另一个就叫做股，而最长的那个边便称为弦。勾股定理也就是刚才所谓的勾股定理，所以它的发现，中国人也应该有份。但是在中国的几何中，我无法找到类似三角形三内角和等于 180° 推论，这是中国数学中没有的结果。 因此，得之于国外数学的经验和有机会看中国数学的书，我觉得中国数学都偏应用；讲得过分一点，甚至可以说中国数学没有纯粹数学，都是应用数学。这是中国科学的一个缺点，这个缺点到现在还存在，大家都讲应用，不注意基础科学。当然应用很要紧，但是许多科学领域基本的发现都是在基础科学。 球面几何与非欧几何 因为有三角形三内角之和等于 180° 这个结论，而有接下来的重要发展： 一、球面几何球面几何所讨论的三角形，不一定是要在平面上，也可以是一个球面三角形，在这个情形下，三角形三内角之和会大于 180°，并且有一个非常重要的公式：  R 是球的半径，R2 则是度量球面的曲率，因此有曲率的观念跑到这样一个简单的公式里。这在数学或物理上是一个重要发展，因为爱因斯坦的相对论中，曲率＝ 1/R2 代表一个场的力，所以几何度量和物理度量便完全一样。 二、非欧几何在这个情形下，三角形三内角之和是小于 180°的，即有如下的重要公式：  此时 R2 代表非欧几何的一个绝度的度量，换句话说在非欧几何的平面上，它的曲率是负的，即 曲率＝ 。因此，在空间或者平面的曲率，可以是正的，像球面几何；也可以是负的，像非欧几何。而其相对应的三角形三内角和，也分别有大于或小于 180°之情形，不再满足欧几里得的平行公理。 坐标几何 欧几里得几何之后，第二个重要的发展是坐标几何。这是法国哲学家、数学家笛卡儿（1596～1650年），对于研究几何，引进了坐标的概念，因此可用解析的方法来处理几何的问题。坐标就是说：假使在 X-Y 平面上，有两个轴：X 轴和 Y 轴，那么一个点的两个 X、Y 坐标，就分别以如图四中的两个相对应的度量来表示。 图四 因此几何的讨论可用解析方法，即： 于是几何的问题便成为代数的问题。 这样的发展不但使几何问题的处理容易些，更有其重大的意义： 一、解析之后，使可研究的图形的范围扩大，除了直线的一次方程式，或者圆周的二次方程式，我们还可以取任意的方程式 f(x,y)=0，讨论所有点它的坐标 (x,y) 适合这样方程式的轨迹。因此许多用几何的方法很难处理的曲线，在解析化之后，都可从表示它的方程式中得到有关的几何性质。 二、研究的图形不再局限在二维的平面上，可推广至高维的空间。世界上的事情，如果只用二维的平面，往往不足以表示，需要取更多的坐标。例如我们所在的空