三角形的心姓名年龄我们先回顾全等三角形它是三角证明的.DOC

三 角 形 的 心 姓名：　　　　 年齡：　　　　  我們先回顧全等三角形，它是三角證明的基礎。 S代表邊、A代表角。 請在右圖適當位置，標上S和A 我們學過，在以下條件對應相等的情況，兩個三角形就是全等的。 SSS （三邊 對應相等） SAS （兩邊一夾角 對應相等） 【 】（兩角一夾邊 對應相等） 【 】（兩角一邊 對應相等） 【 】（直角帶兩邊 對應相等） 還有兩種情況不保證全等： SSA （兩邊一角 對應相等） 【 】（三角 對應相等） 三角證明的基礎有兩個： 一是全等三角形的知識，二是畫輔助線的能力。 為了喚醒三角證明的感覺，請作圖並證明一下： 練習1: 等腰三角形兩底角相等。 練習2: 平行四邊形的兩條對角線，將它分割成兩組全等的三角形。  動手做做看： 一、拿一張紙，剪出任意的三角形，然後折出每邊的中垂線。 ?（o折到x） 你發現了嗎？三條中垂線竟然【 】！ 二、拿一張紙，用紙剪出任意的三角形，然後折出每個角的角平分線。 ?（I折到II） 你發現了嗎？三條角平分線竟然【 】！ 這樣的事情可不是湊巧。 接下來我們就來證明，每個三角形都是這樣神奇。  對於平面上任兩點A、B，我們可以作中垂線， 也就是將AB線段平分且和它垂直的線。 B兩點的中垂線就是【 】線段的垂直平分線， 它將【 】線段平分成左右兩半，且與它垂直。 中垂線有個特別的性質，就是上面每個點，和A、B的距離都相等。 雖然用眼睛看就是這樣，不過數學上要證明才嚴謹。 請利用下頁的圖，證明以下兩定理（見下頁）： （證明請利用講義空白處） 中垂線定理1: A、B中垂線上任一點，和A、B等距。 中垂線定理2： 若有某線上任一點，都和A、B等距，則該線必是A、B的中垂線。  中垂線定理3：外心存在 三角形三邊的中垂線，必交於一點。 〈這樣想想看〉 要證三線交於一點，我們可以先找到其中兩條線的交點， 再證明它在第三條線上。 已知：La, Lb, Lc是△ABC的三條中垂線 求證：La和Lb 的【 】，必在【 】上。 證明： 三邊中垂線的交點，就稱為三角形的外心。 推論：外接圓 以外心為圓心，外心到某頂點的長度為半徑， 可作一圓，包住三角形，僅相交於三個頂點。 圖解如下： 此圓稱為三角形的外接圓。 對於平面上任一角A，我們可以作角平分線， 也就是將A平分的線。 角平分線有個特別的性質， 就是上面每個點，和A的兩邊，距離都相等。 雖然用眼睛看就是這樣，不過數學上要證明才嚴謹。 請利用下頁的圖，證明以下兩定理（見下頁）： （證明請利用講義空白處） 角平分線定理1: ∠A的角平分線上任何一點，都和∠A的兩邊等距。 角平分線定理2： 若某線上任一點，都和∠A的兩邊等距，則該線必是∠A的角平分線。 （請自行作圖證明）  角平分線定理3：內心存在 三角形三角之角平分線，必交於一點。 〈這樣想想看〉 要證三線交於一點，我們可以先找到其中兩條線的交點， 再證明它在第三條線上。 以下留白。如果感到困惑，請對照「外心存在」的已知、求證與證明。 已知：【 】 求證：【 】 證明： 三角之角平分線的交點，就稱為三角形的內心。 推論：內切圓 以內心為圓心，內心到某邊的長度為半徑， 可作一圓，被三角形包住，僅相切於三個邊。 圖解如下： 此圓稱為三角形的內切圓。 下圖是把外接圓和內切圓一起畫出。 如果你有圓規，可以自己畫畫看，很漂亮喔！  我們在這裡插入一個內切圓相關的性質。 如果把內切圓的半徑叫r。 那麼△ABC可以切成三個小三角形。 它們都以【 】為高，分別以a, b,【 】為底。如下圖： ABO的面積為【 】 BCO的面積為【 】 ACO的面積為【 】 三個小三角形的面積，總和為：【 】 於是，我們得到一般的公式了。 角平分線定理4：內切圓半經與面積 三角形面積等於它的「周長」乘以「內切圓半徑」，再除以二。  除了內心和外心，三角形還有許多三線交一點的性質。 以下列出較著名的： 重心：三角形的三條中線交於一點。 垂心：三角形的三條垂線交於一點。 歐拉線：外心、重心、垂心三點共線。 九點心：三中點、三垂足、三頂點連接垂心的中點，在同一圓上。該圓的圓心恰是歐拉線的中點。 重心存在的證明，和它的性質，要用到相似三角形。 我們目前學了如何利用全等三角形來作證明， 未來會學到如何利用相似三角形來作證明，到時候會處理重心。 你也可以先跳過「