两平面的相关位置.PPT

§5 直线 平面之间夹角 Contents(直角坐标系下) 3 空间两直线的夹角（锐角） 4 直线与平面的夹角（锐角） 例2.12,2.13见书P62-63 * * 《解析几何》 一、平面的点法式方程 二、两平面的交角 三、两直线的交角 四、直线与平面的交角 平面是最简单的重要曲面 经过空间一点可以作，而且只能作一个平面 垂直于一已知直线. 1 平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量． 法线向量 垂直于平面内的任一向量． 法线向量 平面的点法式方程 其中法向量 已知点 已知 设平面上的任一点为 必有 求平面的点法式方程要找两个条件： 1、平面上的一个点 2、平面的法向量 由平面的点法式方程 化简得 所求平面方程为 解 解 取 所求平面方程为 化简得 2 两个平面的交角：锐角 设两个平面?1，?2间的二面角用?1,?2表示，而两 平面的法矢量n1,n2的夹角记为θ=n1,n2，显然有 ?1,?2 =θ(θ为锐角)或?-θ (θ为钝角) 因此 ?1 ? ? n1 n2 ?2 3、两平面垂直的充要条件 两平面(1)(2)垂直的充要条件为 A1A2+B1B2+C1C2=0 例3: 一平面通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, ?1), 且垂直于平面 x+y+z = 0, 求它的方程. 解: 设所求平面的一个法向量 n ={A, B, C} 已知平面 x+y+z = 0的法向量 n1={1, 1, 1} 所以: n ? M1M2 且n ? n1 而 M1M2 = {?1, 0, ?2} 于是: A ? (?1) + B ? 0 + C ? (?2) = 0 A ? 1 + B ? 1 + C ? 1 = 0 解得: B=C A= ?2C 取C = 1, 得平面的一个法向量 n = {?2, 1, 1} 所以, 所求平面方程是 ?2 ? (x ?1) + 1 ? (y ?1) + 1 ? (z ?1) = 0 即: 2x ? y ? z = 0 例4 研究以下各组里两平面的位置关系并求夹角： 解 两平面相交，夹角 两平面平行 两平面平行但不重合． 两平面平行 两平面重合. 定义：通过一点且平行于空间两给定直线的直线所成的锐角，叫做 空间两直线的夹角 用它们的方向向量之间的夹角来表示就是 定理 在直角坐标系里，空间两直线的夹角的余弦为 推论 两直线垂直的充要条件是： 例2.11 见书P61 定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角． （1）直线与平面的夹角公式 （2）直线与平面的位置关系： // ? V // n ? V ? n