反证法与放缩法课件.ppt

反证法; 常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设. 对某些数学语言的否定假设要准确，以免造成原则性的错误，有时在使用反证法时，对假设的否定也可以举一定的特例来说明矛盾，尤其在一些选择题中，更是如此.;用反证法证明不等式应注意的问题: (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的.; (3)推导出来的矛盾可以是多种多样的，有的与已知条件相矛盾，有的与假设相矛盾，有的与定理、公理相违背，有的与已知的事实相矛盾等，总之推导出的矛盾必须是明显的.;例2、已知a + b + c 0，ab + bc + ca 0， abc 0， 求证：a, b, c 0 ;例3、设0 a, b, c 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a, 不可能同时大于1/4;【例】△ABC的三边长a,b,c的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°. 【分析】本题中的条件是三边间的关系 ，而要证明的是∠B与90°的大小关系.结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明.;【解答】∵a、b、c的倒数成等差数列， 假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，则∠B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，∴b＞a＞0,b＞c＞0. 这与 相矛盾. ∴假设不成立,故∠B＜90°成立.;【拓展】若a3+b3=2,求证：a+b≤2. 【分析】本题结论的反面比原结论更具体， 更简洁，宜用反证法.;【证明】假设a+b＞2，则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)＞8. 由a3+b3=2,得3ab(a+b)＞6. 故ab(a+b)＞2. 又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2, ∴ab(a+b)＞(a+b)(a2-ab+b2)， ∴a2-ab+b2＜ab, 即(a-b)2＜0.这不可能，故a+b≤2.;用反证法证“至多”、“至少”型问题的方法与步骤. (1)反证法的一般步骤： ①否定结论：假设要证明的结论不成立，即假设结论的反面成立. ②推理论证：由“否定结论”出发，通过正确的推理，导出矛盾. ③肯定结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“否定”结论的错误，即结论的反面不成立，从而结论成立.;(2)在证明中含有“至多”、“至少”、“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法证明.在用反证法证明的过程中,由于作出了与结论相反的假设,相当于增加了题设条件,因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推出矛盾.;练习：否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为( ) (A)a、b、c都是奇数 (B)a、b、c都是偶数 (C)a、b、c中至少有两个偶数 (D)a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数 【解析】选D.三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、c中恰有一个为偶数包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合.;练习：设a,b是两个实数，给出下列条件： (1)a+b＞1;(2)a+b=2；(3)a+b＞2；(4)a2+b2＞2;(5)ab＞1，其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是( ) (A)(2)(3) (B)(1)(2) (C)(3) (D)(4)(5) 【解析】选C.(1)可取a=0.5,b=0.6,故不正确;(2)若a+b=2，则可取a=1,b=1;(3)若a+b2,则a,b中至少有一个大于1，正确；(4)若a2+b22,可取a=-2,b=-1；(5)若ab1,则可取a=-2,b=-1,故选C.;例：实数a、b、c、d满足a+b=c+d=1，ac+bd＞1. 求证：a、b、c、d中至少有一个是负数. 【证明】 假设a、b、c、d都是非负数. 即a≥0,b≥0,c≥0,d≥0 则1=(a+b)(c+d)=(ac+bd)+(ad+bc)≥ac+bd. 这与已知中ac+bd＞1矛盾，∴原假设错误， 故a、b、c、d中至少有一个是负数.;【例】(2011·南通模拟)若a、b、c均为实数,且 求证：a、b、c中至少有一个大于0. 【分析】本题是一个“至少”成立的问题且a、b、c是含有x、y、z的代数式，从正面证明难度较大，可考虑反证法.;【解答】假设a、b、c都不大于0，即a≤0,b≤0,c≤0,∴a+b+c≤0. 而 =(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3 ∴a+b+c＞0.这与a+b+c≤0矛盾， 故a、b、c中至