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第3章 函数逼近及计算1-1
第三章 函数逼近与计算§1 引言与预备知识 1.问题的提出 用插值的方法对这一函数进行近似,要求所得到的插值多项式经过已知的这n+1个插值节点;在n比较大的情况下,插值多项式往往是高次多项式,这也就容易出现振荡现象(龙格现象),即虽然在插值节点上没有误差,但在插值节点之外插值误差变得很大,从“整体”上看,插值逼近效果将变得“很差”。于是,我们采用函数逼近的方法。 所谓函数逼近是求一个简单的函数 , 例如 是一个低次多项式,不要求 通过已知的这n+1个点,而是要求在整体上“尽量 好”的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有 误差 ,函数逼近就是从整 体上使误差 尽量的小 一些。 2.数学描述 “对函数类A中给定的函数 ,要求在另 一类较简单的便于计算的函数类B中,求函数 ,使 与 之差在某种度量 意义下最小。” 函数类 A通常是区间上的实连续函数,记作 ;函数类B通常是代数多项式,分式有 理函数或三角多项式。 中函数 的 -范数定义为: -范数,它满足范数的三个性质: I) ,当且仅当 时才有 ; II) 对任意 成立,a为任意实数; III)对任意 ,有 度量标准最常用的有两种,一种是 在这种度量意义下的函数逼近称为一致逼近或 均匀逼近; 另一种度量标准是 用这种度量的函数逼近称为均方逼近或平 方逼近。这里符号 及 是范数。本章主要 研究在这两种度量标准下用代数多项式 逼近 。 3.维尔斯特拉斯定理 用 一致逼近 ,首先要解决存在性 问题,即对 上的连续函数 ,是否存在 多项式 一致收敛于 ?维尔斯特拉斯 (Weierstrass)给出了下面定理: 定理1 设 ,则对任何 ,总 存在一个代数多项式 ,使 在 上一致成立。 证明:略。(伯恩斯坦构造性证明) 假定函数的定义区间是[0,1],可通过线性代换: 把 映射到 。 对给定的 ,构造伯恩斯坦多项式, 此为n次多项式: 其中 ,且 这不但证明了定理1,而且给出了 的一个逼近 多项式 。多项式 有良好的逼近 性质,但它收敛太慢,比三次样条逼近效果差得 多,实际中很少被使用。 §2 最佳一致逼近多项式2-1 最佳一致逼近多项式的存在性 切比雪夫从另一观点研究一致逼近问题,他 不让多项式次数n趋于无穷,而是固定n,记次数 小于等于n的多项式集合为 ,显然 。 记 是 上一 组线性无关的函数组,是 中的一组基。 中 的元素 可表示为 其中 为任意实数。要在 中求 逼近 ,使其误差 这就是通常所谓最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题。 为了说明这一概念,先给出以下定义。 定义1
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