第3章 单相液体及稳定渗流-复势3.ppt

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第3章 单相液体及稳定渗流-复势3

第八节 复势理论在平面渗流问题中的应用 以表征渗流场的势函数和流函数分别为实部、虚部构成的复数为解析函数,也具有共轭调和性质,称该复数为渗流场的复势,通过对复变函数的研究可求解较复杂的渗流问题。 对复数 ,其复变函数可表示为 。 若 在区域D内连续可微,其实部 和虚部 有连续偏导数存在,且满足柯西-黎曼条件: 则称复变函数 为解析函数。 解析函数的实部和虚部分别满足Laplace方程,称为共轭调和函数,其所代表的曲线族正交。 第七节 复势理论在平面渗流问题中的应用 一、势函数、流函数及复势 1、势函数 向量的曲线积分与路径无关的向量场称为有势场(如重力场)。有势场可引入势函数(简称势,如重力势)来描述。 渗流速度场也属于有势场,可引入速度势的概念: 在无源区域内 势函数满足Laplace方程。 第七节 复势理论在平面渗流问题中的应用 2、流函数 流线上任意一点的切线方向与该点的流动方向一致。 设在渗流场中有流线s,其中一点M处的切线方向,为该点流体运动方向。 设M点渗流速度为v,则在x、y方向的分速度为vx、vy。在M点沿流线s取一微小增量ds,则在x、y方向的增量为dx、dy,由三角形相似有: 流线方程。 在无源区域内 流线方程为全微分方程。 第七节 复势理论在平面渗流问题中的应用 流函数: 渗流速度与 流函数关系: Ψ为常数时表示流线方程,给定不同的常数可得不同的流线。 流函数满足Laplace方程。 满足Laplace方程的函数称调和函数,因此在平面渗流场中,势函数和流函数均为调和函数。 柯西-黎曼条件 沿等势线,势函数的全微分为零,即: 则等势线上任一点处的切线斜率为: (10) 3、势函数与流函数的关系 则流线上任一点处的切线斜率为: (11) 所以等势线与流线正交,势函数与流函数为共轭调和函数。 (12) 沿流线,流函数的全微分也为零: 4.例1、求线性渗流时势函数及流函数 由达西定律知: 则 由C-R条件 单向流势 则 为单向流流函数 4.例2、设已知生产井的 求流函数。 解: 则 又 即 第七节 复势理论在平面渗流问题中的应用 5、平面渗流场的复势 平面渗流场的势函数和流函数为共轭调和函数,则用势函数为实部、流函数为虚部构成的解析函数,称为平面渗流场的复势函数,简称复势。 表示为: 已知某一平面渗流场的复势,只需将其实部与虚部分解,便可得到该渗流场的势函数和流函数。 另外,根据复势,可求出平面渗流场中任意一点处的渗流速度 例、复势w(z)=az+C,求势函数、流函数及渗流速度的绝对值。 解: 二、复势叠加原理 1、平面上点源和点汇的复势 生产井在坐标原点时,其势函数和流函数为: 点汇的复势为: 即: (1) (1)式中 w(z)—距汇点任意处的复势; z—复平面上任意点; r—复变量z的模;θ —复变量z的幅角。 井点为点源时,复势为: 如井点在任意点A=a+ib,其复势为: (2) 势函数流函数为: z rA A θA y x (3) 2、复势叠加原理 若在渗流场中同时存在两个势流,其复势分别为: 因势函数和流函数是共轭调和函数,是齐次线性方程,满足叠加原理条件,即两个复势可合成一个新复势,新复势的势函数和流函数仍满足Laplace方程。 (4) 且 则势函数为: 流函数为: (7) (6) (5) 则同一渗流场中存在多个点源汇时,只需把各个点源汇单独存在时的复势进行简单的代数相加,即可得多井同时存在时的复势,称平面渗流场的复势叠加原理。 如平面上有n个点源汇,分别位于A1、A2….An,则任意点复势为: 三、复势理论在解决多井工作问题中的应用 (一)无限地层中的等产量一源一汇 r2 r1 θ2 x y -q +q a a θ1 由复势叠加原理: (1) 则势函数为: 流函数为: (3) (2) 由(2)式可得等势线方程。 由(3)式: 为流线方程 则 (1) 令 化简为: 配方得: (4) (5) 流线为圆。 地层中任意点的渗流速度: 由 则 补充 二、一对等产量的汇 x y q q a a θ1 θ2 r1 r2 M 由复势叠加原理,M点的复势为: (1) 则势函数为: (2) 流函数为: (3) 当 时为流线 令 上式化简为: (4) 地层中任意点的渗流速度为: r为任意点M到原

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