第3章 周期信号及傅里叶级数表示.ppt

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第3章 周期信号及傅里叶级数表示

(1) 低次谐波振幅较大,组成方波的主体,而高次谐波振幅较小,影响波形的细节。高次谐波愈多,波形的边缘愈陡峭。 规律: (2) 谐波分量愈多,在连续点处愈接近于原方波信号; (3)当谐波次数越高,所合成波形的超量(峰起)越靠近x(t)的间断点,且该峰起值趋于一个常数,约等于跳变值的9?,并从间断点开始以振荡的形式逐渐衰减下去,此即Gibbs现象。 用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时,在间断点附近不可避免的会出现振荡和峰起。峰起的幅度不会随所取项数的增加而减小。只是随着项数的增多,振荡频率变高,并向间断点处压缩,从而使它所占有的能量减少。当项数无穷时,其能量趋于0,从而傅里叶级数以均方差最小逼近原周期信号 Gibbs现象表明: Properties of Continuous-Time Fourier Series 3.5 连续时间傅里叶级数的性质  学习这些性质,有助于对概念的理解,简化计算。 一. 线性: 若 和 都是以 为周期的信号,且 则 二.时移: 若 是以 为周期的信号,且 则 三.反转: 若 是以 为周期的信号,且 则 表明:奇信号的 是关于 的奇函数。 表明:偶信号的 是关于 的偶函数。 当 时,有 当 时,有 五. 相乘: 若 和 都是以 为周期的信号,且 则 也即 六.共轭对称性: 若 是以 为周期的信号,且 则 由此可推得,对实信号有: 或 又,偶信号, , (ak为实偶函数) 奇信号, , ( ak为虚奇函数) 故实偶信号x(t), 故实奇信号x(t), 七.Parseval 定理: 表明:一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和。 令 则 例1: -T 1 T 0 … … 1 0 … … -T . . T 例2:周期性矩形脉冲 将其微分后,可利用例1表示为 1 0 … … 设 由时域微分性质有 根据时移特性,有 由例1知 Fourier Series Representation of Discrete-Time Periodic Signals 一.离散时间傅里叶级数(DFS) Discrete-Time Fourier Series 3.6 离散时间周期信号的傅里叶级数表示 考察成谐波关系的复指数信号集: 该信号集中每一个序列都以 为周期,且该集合中只有 个信号是彼此独立的。 这个级数就称为离散时间傅里叶级数(DFS), 其中 也称为周期信号 的频谱。 二.离散时间傅里叶级数的系数 将这 个独立的信号线性组合起来,一定能表 示一个以 为周期的序列。即: 其中 为 个相连的整数 三.周期性方波序列的频谱 时 显然 的包络具有 的形状。 周期性方波序列的频谱 周期序列的频谱也具有离散性、谐波性,当在 区间 考查时,也具有收敛性。不同的是,离散时间周期信号的频谱具有周期性。 三. DFS的收敛 DFS 是一个有限项的级数,确定 的关系式也是有限项的和式,因而不存在收敛问题,也不会产生Gibbs现象。 3.8 傅里叶级数与LTI系统 Fourier Series and LTI Systems LTI系统对复指数信号所起的作用只是给输入信号加权了一个相应的特征值。 对连续时间系统 对离散时间系统 、 被称为系统的系统函数。 如果 则 被称为连续时间LTI系统的频率响应 如果 则 称为离散时间LTI系统的频率响应 对 而言,是以 为周期的。 如果一个LTI系统输入周期性信号 或 则 * 可见,LTI系统对周期信号的响应仍是一个周期信号,LTI系统的作用是对各个谐波频率的信号分量进行不同的加权。 则 例:某离散时间LTI系统, 输入为 ,求输出 。 即: 由 得 将 代入微分方程得到系统的频率响应为 例:求下面微分方程描述的LTI系统的频率响应 解:已知 则 3.9 滤波( Filtering) 这部分自学。第6章还会深入讨论滤波器问题。 3.12 小结 Summary 本章主要讨论了: 复指数函数是一切LTI系统的特征函数。 建立了用傅里叶级数表示周期信号的方法,实现了对周期信号的频域分解。

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