矩阵特征值和特征向量的研究概念.docx

矩阵特征值与特征向量的研究一矩阵特征值与特征向量研究的背景及意义矩阵的特征值与特征向量是高等代数的重要组成部分，通过对矩阵特征值与特征向量的性质介绍，以及对矩阵特征值与特征向量理论的分析，将特征值与特征向量应用于方程组的求解问题是高等代数中的重要内容。随着社会到的进步，计算机的飞速发展，高等代数这门课程已经渗透到各行各业里面。在许多方面都有着很重要的应用。在多数高等代数教材中,特征值与特征向量描述为线性空间中线性变换A的特征值与特征向量。从理论上来讲只要求出线性变换A的特征值和特征向量就可以知道矩阵A的特征值和特征向量。因此求矩阵的特征值与特征向量就变得尤为重要的引入是为了研究线性空间中线性变换A的属性。在物理，力学，工程技术中有很多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量的问题。现在教材中给出的求解特征值和特征性向量的方法基本上都是通过求解特方程来求解。有时候特征方程会极其的麻烦。有一些文章中虽然给了初等行列变换的方法来较少计算量，但是仍未摆脱参数行列式计算的问题。本文中我们将首先讲解有关特征值和特征向量的相关知识，另外介绍一些简单实用的方法来求解矩阵的特征值与特征向量。二、特征值与特征向量的定义及其性质2.1 定义设A是n阶方阵，如果存在数λ 和n维非零向量x，使得Ax =λx成立，则称λ 为A的特征值，x是A 的对应特征值λ 的特征向量。2.2 性质（1）是A的特征值（2）是A的属于特征值的特征向量的重要条件为为齐次方程组非零解。（3）n阶矩阵在复数域上恰好有n个特征值（重根按重数计算）。（4）n阶矩阵A为可逆矩阵的重要条件是A的特征值全不为0。（5）A与有相同的特征值。（6）设A是可逆矩阵，如果是A的一个特征值，对应的特征向量为，则的一个特征值，对应的特征向量仍然为。三 特征值及其特征向量的求法及其MATLAB的实现3.1 QR方法3.1.1 基本原理QR算法是计算矩阵特征值问题最有效的方法之一，也是普遍被用于工程实践中的一种方法。QR方法的思想是基于对于实的非奇异矩阵都可以分解为正交矩阵Q和上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元素符号取定时，分解是唯一的。 QR算法的基本步骤如下（1）令，对进行正交分解，分解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积：（2）然后将得到的因式矩阵反序相乘，得到：（3）以代替，重复以上步骤得到，所以得到的QR算法的计算公式为：性质1 所有的都相似，它们具有相同的特征值。性质2 的QR分解式为其中,3.1.2 具体实例例1用QR算法求矩阵A=的特征值。解： 令,用施密特正交化过程将分解为==将逆序相乘，求出==用代替A重复上面过程，计算11次得由不难看出，矩阵A的一个特征值是4，另一个特征值是-1，其他两个特征值是方程=0的根，求得为1+2i,1-2i例2 已知矩阵A=,采用QR方法计算A的全部特征值。程序代码如下function [namda,time,data_na]=tzh(A,tol)ifnargin==1;tol=1e-7end%设置初始误差使之能进入循环wucha=1%记录迭代的次数time=0%如果误差没有满足精度，并且迭代次数在500次以内，可以循环迭代%否则跳出循环while (wuchatol)(time500) [q,r]=qr(A); A1=r*q; tz0=diag(A1); tz1=diag(A);wucha=norm(tz0-tz1); %迭代赋值 A=A1;time=time+1;data_na(time,:)=tz1;endnamda=tz1;%用QR方法计算矩阵特征值a=[2 1 0 1 3 1 0 1 4];%调用方法函数[namda,time,data_na]=tzh(a);disp(特征值为)namdadisp(迭代次数为)time%用于输出数据n1=length(data_na);%n2为数组n2=(1:n1);%temp1为迭代序列与特征值组成的向量temp1=[n2,data_na];%第一个特征值subplot(2,2,1:2)plot(data_na(:,1))title(第一个特征值)grid%第二个特征值subplot(2,2,3)plot(data_na(:,2))title(第二个特征值)grid%第三个特征值subplot(2,2,4)plot(data_na(:,3))title(第三个特征值)grid输出结果为：特征值为namda = 4.7321 3.0000 1.2679迭代次数为time =22由图像可以看出在迭代的前几次可能会有一些波动，但是逐渐趋于平稳，总体而言，QR方法是计算矩阵特征值的一个比较好的方法。3.2 用多项式的方法来求解特征值我们知道，求n阶方