3章力学量用算符表达.ppt

(d) 因为 则 16. 两个质量为m的粒子固定在一根长为a的轻质刚性杆两端，整个 刚性杆可绕中心自由转动（中心固定）。 (1)证明刚性转子的能级为 (2) 求该系统归一化的本征函数，并计算第n个能级的简并度 解： (1)系统的哈密顿为 因此刚性转子的能级是 (2)归一化的本征函数是 简并度为 17. 一个系统处于用轨道角动量 描述的状态，其中Y00,Y11是角动量的平方与其z分量的共同 本征函数，b是常数。求在此态下测量角动量x分量的可能值 和相应概率。 解：体系处于Y00态的概率是 在Y00态，总角动量平方为零，因此Lx也为零（本征态） 体系处于Y11态的概率是 在Y11态Lx的可能取值是?,0,-?, 设取这三个值的概率分别 是a1, a0, a-1。则由归一性知 由于Y11是Lz的本征态，则 Lx的平均值为零，所以 考虑到x,y方向的对称性，在Y11态下有 则 由(1)~(3)得 因此在态 下，Lx的可能取值为?,0, -? 取零的概率是 取±?的概率是 18. 在(L2,Lz)的共同本征态Y20中，Lx的可能取值及相应概率 解：求出Lx在Y22,Y21,Y20,Y2-1,Y2-2中的矩阵表示 求出Lx的本征函数(矩阵表示) 将Y20用Lx的本征函数展开 令 则在上述完备基下，利用上述公式，可求lx的矩阵表示为 其本征方程为 对应的久期方程为 则lx的本征值是 可解得： 相应的本征函数是 将Y20用lx的本征态展开 其展开系数是 因此Lx的可能取值及相应概率是 相应概率是3/8 相应概率是3/8 相应概率是1/4 19. 粒子被约束在半径为r的圆周上运动 (a)设立路障进一步限制粒子在0φφ0的一段圆弧上运动， 求粒子的能量本征值和本征函数 (b)设粒子处于(a)情形的基态，求突然撤去路障后，粒子仍处于 最低能量状态的概率是多少？ 解： (a) (b) 撤去路障后的本征值与本征函数是 20. 设U为幺正算符，若存在两个厄米算符A和B使U=A+iB. 证明： (1)A2+B2=1，且[A,B]=0 (2)进一步证明U可以表示成U=eiH,H是厄米算符 证明: (1) 所以 (2) 且均为厄米算符，因此两算符有共同本征态 由 可得 则在(0,2π)内可找到实数ζn，使得 因此 因此若定义厄米算符H使得 则必有 21. 假定一电子的状态由下述波函数描述 其中 ，θ、φ分别是方位角和极角。 求处于该态的电子的轨道角动量的z分量Lz的可能值、 相应概率和期望值。 解：Lz 的本征函数是 本征值是 第 3 章 力学量用算符表达 1 算符的运算规则 (a) 线性算符： 单位算符I： 算符相等： (b) 算符之和: ( c ) 算符之积： (d)对易子 Note: 一般来说，算符之积不满足交换律 对易子的性质 2.基本対易关系 Levi-Civita 符号 几个重要公式 (1) Baker-Hausdoff公式 算符A,B 不对易，[A,B]=C，但[C,A]=[C,B]=0 若A,B对易，则 （2）设A,B是两个不对易的算符，α是参数，则 (3) 设F(x,p)是x,p的整函数，则 (1)逆算符：设 能唯一地解出Ψ，则可定义算符A的逆算符A-1为 说明： (1) 并非所有算符都有逆算符，如投影算符 (2) 若算符A有逆，则有 (3) 若算符A,B的逆均存在，则有 3. 算符的变换 (2) 转置算符： 算符A的转置定义为 或 例如： (3)复共轭算符和厄米共轭算符 算符A 的复共轭算符A*定义为 通常算符A的复共轭算符A* 按如下方法求解： 把算符A中的 所有量都换成其复共轭。 算符A 的厄米共轭算符A+定义为 性质： (4) 厄米算符（自共轭算符) 定理1：在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。 逆定理：在体系的任何状态下，平均值为实数的算符是厄米算符 厄米算符的性质 定理2 厄米算符的本征值必为实数 定理3 厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交 定理4 在一定条件下厄米算符的本征函数具有完备性 (5) 算符的函数 若函数F(x)的各阶导数存在，幂级数展开收敛 则可定义算符A的函数F(A)为 如 则 平移算符 标积的性质 思考题1 若两个厄米算符有共同的本征态，是否它们就彼此对易？ （不一定） 思考题2 若两个厄米算符不对易，是否就一定没有共同本征态？ （不一定） 思考题3 若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有 确定的值？（不是） 4 不确定性关系 或 思考题4 若[A,B]=常数，A和B能否有共同本征态？（有 or没有） 思考题5 角动量分量 思考题6 px和y可否有共同本