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三角函数自主招生数学真题(教师版)
北约、华约、卓约
自主招生数学2011-2012三角函数真题
（2011北约4）
（2011华约4）(4)若的最小值和最大值分别为 ( )
[分析]首先尽可能化简结论中的表达式，沿着两个方向：降次：把三角函数的平方去掉；去角：原来含两个角，去掉一个。
解：
，可见答案是B
解：，，
，于是。将，暂时将x看成常数，欲使yz取得最大值必须，于是，解这个一元函数的极值问题，时取极大值。
解：（I），整理得
（II）由已知，与（I）比较知。又，，，而，
，代入得，
，，
则( D )
A. B. C . D.
（2011卓约12）12.在中,是角的平分线,且.
(1)求的取值范围;
(2)若,问为何值时,最短?
12.【解】(1)过作直线,交延长线于,如图右.
所以,
也所以有,即
在中,有
即
所以,即
所以.
(2)因为
在中,有
记,则
当时,
此时取最小值,此时.
故当时,取最小值.
（2012北约4）
（2012北约7）
（2012华约3）
（2012卓约2）
（2012卓约6）
（2013备考）
例1：（2011北约）在三角形ABC中， 求证
例2：（2009北京大学）存不存在使得为等差数列？
例3：（2008清华大学）求
例4：（2012北约8）.求使得
在上有唯一解的
例5：（2012华约11）.
设
练习：
1.（2012华约1）如果，
那么的取值范围： C
A B C D
2.（清华大学）已知为等差数列，为等比数列，
求的值 0
3.（浙江大学）已知：为三角形的三个内角
求证：
4.（2010年清华大学等五校联考）在中，已知
，外接圆半径.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求面积的最大值.
A
B
C
D
E
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