三讲 推理和证明(教师版).doc

第三讲 推理和证明 知识梳理： 1．合情推理：(1)归纳推理；(2)类比推理． 注意:(1)合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠．例如费马猜想就被欧拉推翻了．(2)在进行类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑,否则只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误． 2．演绎推理：三段论是演绎推理的一般模式,包括:①大前提;②小前提;③结论． 3．证明分为直接证明与间接证明．直接证明包括综合法?分析法等；间接证明主要是反证法． 类型一 归纳推理 【典例1】已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+1,试归纳出这个数列的通项公式． 容易验证n=5就不成立． 错源：“先天不足,急于武断” 【探究1】设f(n)=n2+n+41,n∈N*,计算:f(1),f(2),f(3),f(4),…,f(10)都是质数的值,同时作出归纳推理,并用n=40验证猜想是否正确． [解]f(1)=12+1+41=43, f(2)=22+2+41=47, f(3)=32+3+41=53, f(4)=42+4+41=61, f(5)=52+5+41=71, f(6)=62+6+41=83, f(7)=72+7+41=97, f(8)=82+8+41=113, f(9)=92+9+41=131, f(10)=102+10+41=151． ∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都为质数, ∴归纳猜想:当n∈N*时,f(n)=n2+n+41的值都为质数．∵n=40时,f(40)=402+40+41=40×(40+1)+41=41×41,∴f(40)是合数,因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确． 类型二 类比推理 解题准备:1．类比推理和归纳推理都属于合情推理,利用归纳和类比方法进行简单的推理是高考中常见题型,多以填空题的形式出现． 2．由两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理,它是一种由特殊到特殊的推理． 3．类比推理的一般步骤:(1)找出两类事物之间的相似(或一致)性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)． 【典例2】请用类比推理完成下表: 平面 空间 三角形两边之和大于第三边 三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积 三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的一半 三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一 三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半 解析： 故第三行空格应填:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一． 本题结论可以用等体积法,将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明,此处从略． [反思感悟]类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理?公式?结论等,可以类比到空间立体几何中,得到类似结论．一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下: 平面 点 线 圆 三角形 角 面积 周长 … 空间 线 面 球 三棱锥 二面角 体积 表面积 … [剖析]从平面到空间类比时缺乏对应特点的分析,在三角形内一点到各边的距离与该边上的高的比值之和等于1,类比到空间就应该是三棱锥内一点到各个面的距离与该面上高的比值之和等于1．本题如果不考虑比值的特点,就可能误以为类比到空间后是面积之比等,从而得到一些错误的类比结论． 常用技法（1） 特殊化思想 【例1】凸n边形有f(n)条对角线,凸n+1边形有f(n+1)条对角线,则f(n+1)与f(n)的关系为() A．f(n+1)=f(n)+n－1 B．f(n+1)=f(n)－n+5 C．f(n+1)=f(n)+n+1 D．f(n+1)=f(n)+2n－4 [解析]从三角形与四边形入手,由于三角形的对角线条数为0,即f(3)=0,而f(4)=2,那么f(4)=f(3)+2,经验证C不正确,于是先排除C;再看五边形,由于f(5)=5,得f(5)=f(4)+3,此时B?D．都不满足．故选A． （2）数形结合思想 【例2】如图,一个粒子在第一象限运动,在第一秒内它从原点运动到(0,1),然后它接着在x轴、y轴的平行方向按照图所示来回运动,且每秒移动一个单位长度,求2007秒时,这个粒子所处的位置． [解]第一层有(0,1),(1,1),(1,0)三个整点(除原点),共用3秒;第二层有五个整点(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(0,2),共用5秒;第三层有七个整点(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(3,2),(3,1),(3,0),共用7秒,…,第n层共有2n+1个整点,共用2n+1秒;假设第2007秒时粒子运动在第n+1层