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组合数公式推导 巩固练习： * * 湖南科技大学 吕渊 1.排列的概念： 理解： (1).n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的. m,n是正整数，且m≤n. (2).排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”． (3).两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素 完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同． 复习引入 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.排列数及其公式： 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不 同元素中取出m个元素的排列数. 复习引入 问题一：我校要派出一代表队去青海玉树抗震救灾，欲从代表队中的甲、乙、丙3名候选人中选出正、副队长各一名，有多少种不同的选法？ 问题二：我校要派出一代表队去青海玉树抗震救灾，欲从甲、乙、丙3名候选人中选出2名，有多少种不同的选法？ 甲、乙； 甲、丙； 乙、丙 3 有顺序 无顺序 选出来，但没有排序！得到的是“组”——组合，元素无序. 情境创设 选出来，并排序！得到的是“有序列”——排列，元素有序. 思考一：排列与组合的概念有什么共同点与不同点？ 组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 概念讲解 共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关. 排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 概念讲解 思考二:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 思考三:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢? １）元素相同； ２）元素排列顺序相同. 元素相同 构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中的第一步. 思考四:组合与排列有联系吗? 概念讲解 判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? 有多少种不同的火车票价？ 组合问题 排列问题 (3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法? 组合问题 (4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次? 组合问题 (5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法? 排列问题 组合问题 组合是选择的结果，排列 是选择后再排序的结果. 1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是: 2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组合. a b c d b c d c d (3个) (6个) 小试身手 ab,ac,bc ab,ac,ad,bc,bd,cd 如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合是: 如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个元素的组合数是： 组合数: 注意： 是一个数，应该把它与“组合”区别开来． 概念讲解 ab,ac,bc 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号 表示. 写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素 的所有组合. abc，abd, acd, bcd . b c d d c b a c d 练一练 组合 排列 abc abd acd bcd abc bac cab acb bca cba abd bad dab adb bda dba acd cad dac adc cda dca bcd cbd dbc bdc cdb dcb 不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？ 你发现了什么? 排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步： 第1步,先求出从这