力学附录I 平面图形的几何性质2形心主轴和形心主惯性矩.ppt

例I-1-2： 确定图示图形形心C的位置。 例I-1-3：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。 二、极惯性矩 例I-2-1： 求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。 例I-2-2：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。 * 材料力学 附录I 平面图形的几何性质 §I-1 静矩和形心 §I-2 惯性矩和惯性半径 §I-3 惯性积 §I-4 平行移轴公式 §I-5 转轴公式 主惯性轴 §I-1 静矩和形心 1．静矩 2．形心 平面图形的静矩是对某一坐标轴而言的，同一图形对不同的坐标轴，其静矩也不同。静矩可正、可负，其量纲是长度的三次方。 注意 3．形心与静矩的关系 图形对某轴的静矩为零，则该轴一定过图形的形心；某轴过图形的形心，则图形对该轴的静矩为零 注意 例I-1-1 图示抛物线的方程为 ,计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z 轴的静矩Sy和Sz，并确定图形的形心c的坐标。 解：先求对z轴的静矩Sz 取微面积dA 当一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形，其静矩和形心坐标分别为 组合图形对某一轴的静矩等于各 组成部分对同一轴静矩的代数和 由 可知，静矩的几何意义：形心位置与轴的距 离大小。 4．组合平面图形的形心与静矩 解： 解： 解：将此图形分别为I、II、III三部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，过II、III的形心且与y轴垂直的轴线取为x轴，则 例I-1-4：求图示图形的形心。 150 y C x O x1 y1 200 10 yC 300 10 I II III 由于对称知： xC=0 §I-2 惯性矩和惯性半径 一、惯性矩 工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平方的乘积，即 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径 解： §I-3 惯性积 如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴是对称轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积必等于零。 惯性矩、极惯性矩恒为正值，惯性积有正负，单位为：m4、cm4、mm4； 若图形有一个对称轴，则图形对包含此对称轴的一对正交轴的惯性积为零； 惯性矩、惯性积和极惯性矩均为面积的二次矩 ； 如将dA看成质量dm，则Ix、Iy、Ip分别为平面体对x、y、原点的转动惯量。 总结 §I-4 平行移轴公式 一、平行移轴公式 ① xC、yC轴是形心轴，在所有的平行轴中，图形对形心轴的惯性矩最小； ② b和a是图形的形心C在Oxy坐标系中的坐标，所以它们是有正负的。 注意 二、组合图形的惯性矩： 例I-4-1：已知三角形对底边(x1轴)的惯性矩为bh3/12，求其对过顶点的与底边平行的x2轴的惯性矩。 b x1 h x2 xC h/3 解：由于x1、x2轴均非形心轴，所以不能直接使用平行移轴公式，需先求出三角形对形心轴xC的惯性矩，再求对x2轴的惯性矩，即进行两次平行移轴： 例I-4-2：求图示T型截面对形心轴的惯性矩。 5 30 5 30 30 30 5 5 C C2 C1 y2 2 1 y1 zC1 zC2 求T形截面对形心轴的惯性矩 先求形心的位置： 取参考坐标系如图，则： 再求截面对形心轴的惯性矩： yC z yC zC 例I-4-3：求图示截面对形心轴的惯性矩。 1．先求截面的 形心轴 取参考坐标系如图，则： 2．求截面对形心轴的惯性矩： z y zc yc A1 A2 §I-5 转轴公式 主惯性轴* 一、 惯性矩和惯性积的转轴定理 dA x y y x a x1 y1 x1 y1 二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩 1.主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到?= ?0 时；恰好有 与 ?0 对应的旋转轴x0 y0 称为主惯性轴；平面图形对主轴之惯性矩主惯性矩。 2.形心主轴和形心主惯性矩： 主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩 形心主惯性矩： 3.求截面形心主惯性矩的方法 ①建立坐标系 ②计算面积和面积矩 ③求形心位置 ④建立形心坐标系；求：IyC ， IxC ， IxCyC ⑤求形心主轴方向 — ?0 ⑥求形心主惯性矩 例I-5-1：求图示正方形对过形心的x1、y1轴的惯性矩和惯性积。 x y a a C x1 y1 a 解：由于 ， 则 同理 ， * 材料力学 附录I 平面图形的几何性质