常微分方程复习(授).ppt

第十二章习题课 微分方程复习 例2 解 特征方程 特征根 对应的齐次方程的通解为 设原方程的特解为 二、典型例题 原方程的一个特解为 故原方程的通解为 二、典型例题 由 解得 所以原方程满足初始条件的特解为 二、典型例题 例3 解 特征方程 特征根 对应的齐方的通解为 设原方程的特解为 二、典型例题 * 1、基本概念 微分方程　凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程． 微分方程的阶　微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶． 微分方程的解　代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解． 1、基本概念 线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程． 在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称这样的微分方程为常系数线性微分方程　 通解　如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解． 特解　确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解． 初始条件　用来确定任意常数的条件. 初值问题　求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题． 1、基本概念 (1) 可分离变量的微分方程 2、一阶微分方程的解法 2、一阶微分方程的解法 (2) 齐次方程 解法 作变量代换 齐次方程． （其中h和k是待定的常数） 否则为非齐次方程． (3) 可化为齐次的方程 解法 化为齐次方程． 2、一阶微分方程的解法 (4) 一阶线性微分方程 方程称为齐次的． 方程称为非齐次的. 齐次方程的通解为 1、 2、一阶微分方程的解法 2、非齐次微分方程的通解为 (5) 伯努利(Bernoulli)方程 方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程. 2、一阶微分方程的解法 解法　 经过变量代换化为线性微分方程． 例3 3、可降阶的高阶微分方程的解法 解法 型 接连积分n次，得通解． 3、可降阶的高阶微分方程的解法 特点 型 解法 代入原方程, 得 3、可降阶的高阶微分方程的解法 3、可降阶的高阶微分方程的解法 特点 型 解法 3、可降阶的高阶微分方程的解法 例6 解 代入方程，得 故方程的通解为 3、可降阶的高阶微分方程的解法 （1）　二阶齐次方程解的结构: 4. 线性微分方程解的结构 （2）二阶非齐次线性方程的解的结构 例7 解 （１）　由题设可得： 解此方程组，得 （２）　原方程为 由解的结构定理得方程的通解为 ５、二阶常系数齐次线性方程解法 n阶常系数线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程 二阶常系数非齐次线性方程 解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法. 特征方程为 ５、二阶常系数齐次线性方程解法 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项 推广： 阶常系数齐次线性方程解法 ５、二阶常系数齐次线性方程解法 ６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法 二阶常系数非齐次线性方程 解法　待定系数法. ６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法 二、典型例题 例1 解 原方程可化为 代入原方程得 分离变量 两边积分 所求通解为 二、典型例题 * *