年级数学]小学奥数平面几何五种面积模型等积_鸟头_蝶形_相似_共边.doc

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年级数学]小学奥数平面几何五种面积模型等积_鸟头_蝶形_相似_共边

小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边) 目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型), 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如右图 ③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图; 反之,如果,则可知直线平行于. ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半; ⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在中,分别是上的点如图 ⑴(或在的延长线上,在上), 则 图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理 任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”): ①或者② 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系. 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”): ① ②; ③的对应份数为. 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①; ②. 所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下: ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方; ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半. 相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具. 在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形. 五、共边定理(燕尾模型和风筝模型) 在三角形中,,,相交于同一点,那么. 上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为和的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题 如图,正方形ABCD的边长为6,5,2长方形EFGH的面积为 连接DE,DFEFGH的面积是三角形DEF面积的二倍. 三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积, ,所以长方形EFGH面积为33. 【巩固】如图所示,正方形的边长为厘米,长方形的长为厘米,那么长方形的宽为几厘米? 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形).三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半. 证明:连接.(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起). ∵在正方形中,边上的高, ∴(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半) 同理,. ∴正方形与长方形面积相等. 长方形的宽(厘米). 长方形的面积为36,、、为各边中点,为边上任意一? 解法一:寻找可利用的条件,连接、,如下图: 可得:、、,而 即; 而,. 所以阴影部分的面积是: 解法二:特殊点法.找的特殊点,把点与点重合, 那么图形就可变成右图: 这样阴影部分的面积就是的面积,根据鸟头定理,则有: . 【巩固】在边长为6厘米的正方形内任取一点,将正方形的一组对边二等分,另一组对边三等分,分别与点连接,求部分面积. (法1)特殊点法.由于是正方形内部任意一点,可采用特殊点法,假设点与点重合,则阴影部分变为如上中图所示,图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和,所以阴影部分的面积为平方厘米. (法2)连接、. 由于与的面积之和等于正方形面积的一半,所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的,所以阴影部分的面积为平方厘米. 如图所示,长方形内的阴影部分的面积之和为70,,,四边形的面积为 . 利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和,以及三角形和的面积之和,进而求出

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