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必修一高一数学压轴题全国汇编1,附答案
22.(本小题满分12分)已知x满足不等式,
求的最大值与最小值及相应x值.
22.解:由,∴, ∴,
而
,
当时 此时x==,
当时,此时.
21.(14分)已知定义域为的函数是奇函数
(1)求值;
(2)判断并证明该函数在定义域上的单调性;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;
21..解:(1)由题设,需,
经验证,为奇函数,---------(2分)
(2)减函数--------------(3分)
证明:任取,
由(1)
该函数在定义域上是减函数--------------(7分)
(3)由得,
是奇函数
,由(2),是减函数
原问题转化为,
即对任意恒成立------(10分)
得即为所求--- ---(14分)
20、(本小题满分10分)
已知定义在区间上的函数为奇函数,且.
(1) 求实数,的值;
(2) 用定义证明:函数在区间上是增函数;
(3) 解关于的不等式.
20、解:(1)由为奇函数,且
则,解得:。
(2)证明:在区间上任取,令,
, , ,
即
故函数在区间上是增函数.
(3)
函数在区间上是增函数
故关于的不等式的解集为.
21.(14分)定义在R上的函数f(x)对任意实数a,b,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立,且当x1时,f(x)0,
(1)求f(1) (2)求证:f(x)为减函数。 (3)当f(4)= -2时,解不等式
21,(1) 由条件得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0
(2) 法一:设k为一个大于1的常数,x∈R+,则
f(kx)=f(x)+f(k)
因为k1,所以f(k)0,且kxx
所以kxx,f(kx)f(x)对x∈R+恒成立,所以
f(x)为R+上的单调减函数
法二:设令
有题知,f(k)0
所以f(x)在(0,+)上为减函数
法三:设
所以f(x)在(0,+)上为减函数
22、(本小题满分12分)已知定义在[1,4]上的函数f(x)=x2-2bx+(b≥1),
(I)求f(x)的最小值g(b);
(II)求g(b)的最大值M。
22. 解:f(x)=(x-b)2-b2+的对称轴为直线x=b( b≥1),
(I) ①当1≤b≤4时,g(b)=f(b)=-b2+; ②当b>4时,g(b)=f(4)=16-,
综上所述,f(x)的最小值g(b)=
(II) ①当1≤b≤4时,g(b)=-b2+=-(b-)2+, ∴当b=1时,M=g(1)=-;
②当b>4时,g(b)=16-是减函数,∴g(b)<16-×4=-15<-,
综上所述,g(b)的最大值M= -。
22、(12分)设函数,当点是函数图象上的点时,点是函数图象上的点.
(1)写出函数的解析式;
(2)若当时,恒有,试确定的取值范围;
(3)把的图象向左平移个单位得到的图象,函数,()在的最大值为,求的值.
22、解:(1)设点的坐标为,则,即。
∵点在函数图象上
∴,即∴
(2)由题意,则,.
又,且,∴
∵ ∴
∵∴,则在上为增函数,
∴函数在上为减函数,
从而。
由(1)知,而把的图象向左平移个单位得到的图象,则,∴
即,又,的对称轴为,又在的最大值为,
①令;此时在上递减,∴的最大值为,此时无解;
②令,又,∴;此时在上递增,∴的最大值为,又,∴无解;
③令且∴,此时的最大值为,解得:,又,∴; 综上,的值为.
10、已知定义在上的偶函数在上单调递增,且,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
11、设,则之间的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
12、函数,对任意的非常实数,关于的方程的解集不可能是 ( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分
13、已知全集,集合,则集合的所有子集共有 个.
14、已知,则 .
15、函数的单调递增区间为 .
16、定义在上的奇函数满足:当时,,则方程的实根个数为 .
D C B C B D C B D C C D 二、填空题:(分)13、4;14、4;15、;16、3
21、(12分)设函数.
(1)当时,求的定义域;
(2)如果时,有意义,试确定的取值范围;
(3)如果,求证:当时,有.
21、解:(1)当时,函数有意义,则,令不等式化为:,转化为,∴此时函数的定义域为
(2)当时,有意义,则,令在上单调递增,∴,则有;
(3)当时,,
设,∵,∴且,则
∴
22.(本题满分14分)已知幂函数满足。
求整数k的值,并写出相应的函数的解析式;
(
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