深圳大学_数理方程_复习.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1、勒让德多项式的正交归一性 函数展成勒让德多项式的级数 2、勒让德多项式的完备性 设f(x)在闭区间[-1,1]上是分段光滑的，则f(x)可以按勒让德多项式级数展开，即 ，这称为勒让德多项式的完备性。 展开系数： * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 综合问题：非齐次方程，非齐次边界条件，任意初始条件 如果自由项和边界条件不含时间，选取适当的辅助函数 使方程和边界条件同时齐次化。 如果不满足上述条件，选取适当的辅助函数使边界条件 齐次化。 3. 边界条件齐次化之后，用“一分为二”法： 3.1 齐次方程 + 任意初始条件（分离变量法） 3.2 非齐次方程 + 齐次初始条件（本征函数法） 边界条件齐次化之后，还可以用“合二为一”法：直接利 用本征函数法，一次性求解。 综合定解问题的处理 （通解） （特解） 行波法求解无界波动方程 原方程： 特征方程： 特征线： 特征变换： 简化方程： 结论：只要找到特征方程就可以将原方程化简 结论 ?0 （双曲型） 如一维波动方程 ?=0 （抛物线型） 如一维热传导方程?0 （椭圆型） 如二维拉氏方程 二阶线性偏微分方程: 通式和分类 特征方程： 结论 (一般情况) 特征线： 注：只有双曲方程有特征线 特征变换： 简化方程： 在A、B、C均为常数时： x y z 求解球坐标下的三维波动方程 球对称： 无关，则波动方程可化简为 以 ru 为函数的一维波动方程 一、球对称情况 目的：求任意 t 时刻在任意点 的波函数 步骤： 1.以M点为中心，以r为半径作一 个球面 2.求出波函数在球面上的平均值： 表示球面上的动点 x y z 3.在 情况下求极限： 给出最后结果 M r 二、一般情况：泊松球面平均法 能够证明（ ）满足一维波动方程 其通解为： 三维波动方程初值问题的泊松公式 三维波动方程初值问题的泊松公式 r ① 空间任意一点M，在任意时刻t0 的状态，完全由以该点为心、at 为半径的球面上初始状态决定。 ② 当初始扰动限制在空间某局部范围时，扰动有清晰的“前锋”与“阵尾”，即惠更斯原理成立。 三维齐次波动方程柯西问题泊松公式的物理意义： 二维齐次波动方程柯西问题泊松公式的物理意义： ① 二维空间任意一点M，在任意时刻t0 的状态，完全由以该点为心、at 为半径的圆盘域上初始状态决定。 ② 局部初始扰动对二维空间任意一点的扰动有持续后效，波的传播有清晰的“前锋”而无后锋，此现象称为波的扩散，即惠更斯原理不再成立。 适用:一般常微分方程及偏微分方程 时间 t： 拉氏变换 空间 x： 拉氏变换 空间 x： 傅氏变换 注意：使用拉氏和傅氏双重变换 积分变换法 （原函数） （象函数） 常用的拉普拉斯变换 定义： 拉普拉斯变换性质小结： 线性性质 微分性质 积分性质 位移性质 延迟性质 卷积定理 定义： （原函数小写） （象函数大写） 定义： 反变换存在的条件： 傅立叶变换 傅立叶变换性质小结： 线性性质 微分性质 积分性质 位移性质 卷积定理 定义： 重要结果 单位阶跃函数的变换 变量 x 变化范围： ，对x用傅里叶变换 例如无界弦 2. 变量 x 变化范围： ，对x用拉普拉斯变换 例如半无界热传导 3. 时间变量的变化为 ，只能用拉普拉斯变换 傅里叶变换与拉普拉斯变换 1.用拉普拉斯求解常微分方程的初值问题，不需要考虑 方程是否齐次，解题步骤都是一样的。象函数是代数 方程（包含了初始条件），容易求解，比经典的方法 （先求通解，再利用初始条件确定常数）更优越。 2.用拉普拉斯求解数学物理方程的定解问题，不管方程 与边界条件是否齐次，不管方程定义在无界还是有界 区域（见例题6），都可以求解。对于偏微分方程,既 可以对 t 求拉氏变换，也可以对 x 求拉氏变换 (如果有 )。 拉普拉斯变换(法)的优点 根据变量x的变换范围选择傅氏变换或拉氏变换: 变换后得到象空间的常微分方程和定解条件。 2. 求解象空间的定解问题