2_1_求根课件-11.doc

第2章 非线性方程的求根方法 本章探讨函数方程求根的常用数值方法的构造和原理，主要介绍非线性方程求根方法的有关知识和方法. 重点论述二分法、简单迭代法、牛顿迭代法及其变形的原理、构造、收敛性等内容。 2.1 实际案例 如下关于角度(的方程 来自某种门的气压控制问题，工程师要求出满足如上方程的(的值以设计出一种自动控制装置。 2.2问题的描述与基本概念 定义2.1 设f(x)为一元连续函数，称 f(x)=0 （2.1） 为函数方程； 当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程为非线性方程。 非线性方程中，当函数f(x)是多项式函数时，称为代数方程，否则称为超越方程。 n次代数方程 在非线性方程中，绝大部分是没有求根公式的，因此寻找求近似根的方法是非常重要!。 求根问题的本质 根的存在性、根的范围和根的精确化 根的精确化是方程求根问题的核心。 数值分析中求根方法分类 两类：区间法,迭代法 方法共同点是构造收敛根的数列。 定义2.2 设数列收敛于x*，若存在正数 p 和C，满足 则称的收敛阶为p或方法具有p阶敛速。 当p＝1且C1时，称方法线性收敛； 当p＝2时，称方法平方收敛； p1时称方法超线性收敛。 收敛阶越大，收敛越快，方法越好！ 2.3 二分法 二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。 基本思想 利用连续函数零点定理，将含根区间逐次减半缩小，构造点列来逼近根x*。 1. 构造原理 假设在区间中只有一个根，且满足，则二分法求根数列的构造过程为： 记，取的中点，计算； 判别的值 若，则，终止； 若，则，取； 若，则，取; `记，取的中点 判别是否成立（为给定的精度） 若成立，取x*≈x1，终止； 否则用代替，转①。 按上述步骤求根的方法称为二分法。 （构造过程一般是重复的，其描述要写出其重复体） 求根数列描述 若记第k次二分区间处理得到的含根区间为，则有二分法对应的求根数列算式为 ，。 2.分析 因为，且，所以有的误差满足 （2.2） 于是当时，由 得到 说明由二分法产生的数列总是收敛于根x*的。 计算次数控制 给定精度后，要成立，取k满足 即可，解出k，有 （2.3）（事先估计） 这样就可以保证进行k次二分计算得到的 xk 就是满足精度要求的近似根。 式（2.3）确定的k往往偏大，主要用于理论估计。 由二分法的构造，有 故总成立有 （2.4）（事后估计） 因而当时就有，此时xk是满足精度的近似根。 式（2.4）确定的k往往较小，主要用于实际控制。 例2.1用二分法求方程在区间[1,2]内的根，绝对误差。 解 令，则， 因为，，且在[1，2]内不变号。可知方程在[1，2]内有唯一根。 由二分法算法有 ， 由，得 ， 由，得 ， 类似计算，可得 ,；,,； ，， 得近似解 例2.2 写出二分法求根的算法。 解 二分法算法可以由计算过程和误差控制给出，设非线性方程为，为给定的精度。 因为是实数，为描述其为零的情况，引入充分小的数，用表示。 此外，借助计算机的存贮特点，将二分法中的数列ak都存在变量a中，bk都存在变量b中，用变量x记录xk，由此得二分法算法 二分法算法 输入 a，b，，， 输出 根x 步骤： ① ② 若, 则输出根x，停止 ③ 若，做 否则做 ④ 若 则输出根，停止 否则转① 注：数值实验的编程 二分法程序： Clear[x] f[x_]=Input[“键入函数f(x)=”]; a= Input[“键入左端点a=”]; b=Input[“键入右端点b=”]; Print[“a=”,a, “ b=”,b, “ f(x)=”,f[x]] e1=10^(-10); eps=Input[“键入根的误差限eps=”]; n=0; While[b-aeps, x=(a+b)/2;n=n+1; w=f[x]; If[Abs[w]e1,Print[“n=”,n, “ x=”,x, “ f[x]=”,w];Break[]]; p=f[a]*w//N; If[p0,b=x,a=x]; Print[“n=”,n, “ x=”,x//N, “ eps=”,b-a//N]] 说明：本程序用于求非线性方程f(x)=0在区间[a,b]内的根，这里要求f(x)在区间[a,b]连续,且f(a)f(b)0。程序执行后，先通过键盘输入函数f(x)和区间左端点a和右端点b及根的精度要求e，程序即可给出每次二分的次数和对应的点列x k，其中最后输出的结果即为所求的根。 程序中变量说明： x：存放初值x 0和二分法中的x k a: 存放含根区间的左端点ak b: 存放含根区间的右端点bk e1:描述f(xk)=0的微小值,这里用|f(xk)|e1表示f(