第二章04节 111007.pptVIP

一、概率密度的概念与性质 5) 对于连续型随机变量，我们关心的是它在某一区间上取值的问题． 例1 例2 二、常见连续型随机变量的分布 20 均匀分布的概率背景 30 均匀分布的分布函数 例4 60 一般正态分布的计算 70 例题 例7 2．指数分布 例8 30 指数分布的无记忆性 令：B={ 等待时间为10~20分钟 } 连续型随机变量 * 1.定义 考虑随机变量X 的分布函数F(x)，如存在非负函数 f (x)，使得对于任意实数 x，有： 则称 X 为连续型随机变量。 其中函数 f (x) 称为X 的概率密度函数,简称(概率)密度。 §4 连续型随机变量及其概率密度 几何意义： 还可求得 的取值落在任意区 间 上的概率： 对一个连续型随机变量X, 若已知其密度函数 则根据定义， 可求得其分布函数 2. 概率密度的性质 (定义) (概率的规范性) 注： 上述性质有明显的几何意义. 反之， 可证一个函数若满足上述性质， 则该函数一定 一定可以作为某一连续型随机变量的概率密度函数。 3.说明： 1). 连续型随机变量X由其密度函数唯一确定,其分布 函数F(x)是连续函数； 2).连续型随机变量X取任何定值a的概率 ； 3).由上可得： 连续型随机变量取值落在某区间的概率与区间的开闭无关 (1) 若 X 为离散型随机变量, 离 散 型 若X是连续型随机变量，{ X=a }是不 可能事件，则有 连 续 型 (2) (3) 对连续型随机变量X，P{X≥x}= (高数知识) 不计高阶无穷小，则有： 即有： 当?x?0 时，f(x)是连续型随机变量X落在区间(x, x+?x]内的平均概率。 对应物理学中的线密度。 更：P { X ≤x}=P{Xx}，对于连续型随机变量增减一点不改变概率的值。 6). 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！ 7). “概率分布”(或分布函数)：对离散型变量，指分布律；对连续型变量，指密度函数。 8). 随机变量可分为： 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 解： ⑴．由密度函数的性质 解：设A={ 某元件在使用的前 150 小时内需要更换} 某电子元件的寿命(单位：小时)是以 为密度函数的连续型随机变量。 求5个同类型的元件在使用的前150 小时内恰有2个需要更换的概率。 设检验 5 个元件的使用寿命时，X表示A发生的次数。则X~B(5, 1/3). 例3 故有 解 (1) 因为 X 是连续型随机变量, 1. 均匀分布 概率密度 函数图形 若随机变量 X 的密度函数为 记作 X ~ U [a , b] 10 定义 对连续型随机变量,增减一点不改变概率,则可定义其它区间( (a, b), [a, b), (a, b])上的均匀分布,其密度函数同上. a x l X b 0 点等可能地落在一直线段d上。 落在d中一段d1的概率为： d1的长度/ d 的长度。 d1 d 分子分母均为区间长 x a b f (x) 0 1/(b-a) x a b F (x) 0 1 令：B={ 候车时间不超过5分钟 } 设公共汽车站从上午7时起每隔15分 钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是7:00 到7:30之间的均匀随机变量．试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率。 解： 设该乘客于7时X分到达此站． =1/3 2. 正态 (Gauss)分布 x f (x) 0 10 定义 20 标准正态分布 φ (x) 0 x c d a b 0 x f (x) 30 正态分布密度函数的图形性质 x f (x) 0 σ1 σ2 σ3 (4) 0 x f (x) (5) 40 正态分布的应用与背景 ⑴．正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布． 举例：测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等,正常情况下生产的产品尺寸如直径、重量等。 (2).正态分布可以作为许多分布的近似分布,有许多独有的良好性质。 (2). 可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布． 50 标准正态分布的计算 标准正态分布的图形： X轴 0 -x x (概率密度函数的几何 意义及正态分布的对称性) 一般正态分布和标准正态分布的分布函数的关系： 方法一:转化为标准正态分布查表计算 方法二:利用MATLAB软件包计算 例 5 例6. 0 α=P{Xzα}= 求分位点为前面计算问题的逆问题,在统计中常用。 80 分位点 1- P{ X