第四节 行列式的展开.pptVIP

三、小结与思考 * * * 一、余子式与代数余子式 二、n阶行列式展开定理 三、小结思考 定义1.6 在n阶行列式D中, (k阶)子式N 任选k行k列相交处元素构成的行列式. (N的)余子式M 划去N所在行列后,剩余元素构成的行列式. 一、余子式与代数余子式 (N的)代数余子式A M带上N的符号 N所在的行 N所在的列 例如:四阶行列式 D的2阶子式 N的余子式 N的代数余子式 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 3 2 0 1 2 1 - - - = D 1 1 1 3 = M M A - = - = + + + 1 1 1 3 1 4 1 3 1 ） （ ） （ ） （ 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 3 2 0 1 2 1 - - - = D 再如:四阶行列式 D的1阶子式 余子式 代数余子式 2 1 1 1 1 1 1 1 3 11 - - = M 12 2 1 1 1 1 1 1 1 3 ) 1 ( 11 1 1 11 - = - - = - = + M A 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 3 2 0 1 2 1 - - - = D D的1阶子式 余子式 代数余子式 2 1 0 1 1 1 1 1 2 12 - - = M 9 2 1 0 1 1 1 1 1 2 ) 1 ( 12 2 1 12 = - - - = - = + M A 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 3 2 0 1 2 1 - - - = D 2 1 0 1 1 1 1 3 2 13 - = M 5 2 1 0 1 1 1 1 3 2 ) 1 ( 13 3 1 13 - = - = - = + M A D的1阶子式 余子式 代数余子式 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 3 2 0 1 2 1 - - - = D D的1阶子式 余子式 1 1 0 1 1 1 1 3 2 14 - = M 2 1 1 0 1 1 1 1 3 2 ) 1 ( 14 4 1 14 - = - - = - = + M A 代数余子式 n阶行列式D等于它的任意一行(列)各元 素与其对应的代数余子式的乘积之和，即 二、 n阶行列式展开定理 定理1.3 按行展开 或 按列展开 注意 按某行（列）展开，是降阶简化计算行列式的重要方法，特别适用于某行（列）零元较多的情形。 ?例 解 （1）直接按第一行展开计算 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 3 2 0 1 2 1 - - - = D 14 14 13 13 12 12 11 11 A a A a A a A a D + + + = 3 1 2 1 0 1 0 0 0 1 4 3 1 1 1 0 - - - = 2 1 1 0 1 1 1 1 1 1 3 2 0 1 2 1 - - - = D （2）先化简再展开 3 2 1 0 4 3 1 1 0 - - = 3 2 1 0 4 3 1 1 0 1 1 3 3 - - - = + ） ）（ （ 11 = ?例 计算范德蒙行列式 解 从第n行开始，依次减去上一行的 倍。 得 按第一列展开后，从每列提取一个公因式 得原行列式与低一阶的范德蒙行列式间的关系 依此类推，可得 练习计算行列式 解 27 64 8 125 9 16 4 25 3 4 2 5 1 1 1 1 = D ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ 3 4 3 2 4 2 3 5 4 5 2 5 - × - × - × - × - × - = D 定理1.4（拉普拉斯定理） 若在n阶行列式D中，任意选取k行k列， 这样组成的所有k阶子式其对应的代数余子式乘积之和等于行列式D的值。（证略） 例 1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 思考题 求第一行各元素的代数余子式之和 思考题解答 解 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成