第五章 多目标规划1.pptVIP

第五章 多目标规划 例5.1 梁的设计问题 用直径为1（长度单位）的圆木制成截面为矩形的梁， 为使重量最轻而强度最大，问应如何设计截面的宽和高的 尺寸？ 设梁的矩形截面的宽和高的分别为x1和x2,根据题意建立如 下模型： * 第2－第4章讨论的都是具有单一目标函数的最优化问题。实际中，还会遇到同时追求多个目标的最优化问题。例如，对于一个生产过程，总是期望高产出，同时还要求少用料、省工时等等。像这样有多个目标的最优化问题称为多目标规划。自二十世纪70年代以来，对多目标规划的研究开始广泛起来，所获成果已对现代经济、政治、科技和军事等方面产生重要影响。这里将介绍多目标规划的数学模型、有关概念，以及基本的求解方法。 5.1 数学模型 例5.2 生产计划问题 多目标最优化问题的数学模型的一般形式为 （5.1） 如设 则（5.1）将可简单地表示成 （5.3） （5.3）是多目标问题的向量极小化模型，其中v是vector 为容许集。 称为向量目标函数； 称为分量目标函数。 （向量）的字头， 如果（5.1）中的所有函数都是线性的，那么通过变换，（5.1）可写成如下形式 （5.4） 这是多目标线性规划的标准形式，其中 是 矩阵。 5.2 解的概念与性质 与单目标最优化问题相比，由于目标函数不再是单一的，因此多目标最优化问题的最优解概念变得复杂起来，并产生了各种意义下的“最优”概念。 定义5.1 考虑问题（5.3）。若存在 ，使得对于 ，都有 （5.5） 则 称为（5.3）的绝对最优解。所有绝对最优解的集合 或 。 称为绝对最优解集，记作 注意，（5.5）等价于 在实际中，多目标最优化问题存在绝对最优解的情况不多见。因此，必需扩充最优解的概念。为此需要建立向量间的自然序关系。 定义5.2 (1) 设 和 都是 维向量。若 ，记作 定义5.2 (2) 设 和 维向量。若 ,并且至少有一个等号 是严格小于号，则称 定义5.2 (3) 设 和 维向量。若 ,则称 例如，向量 和 之间有 ， 和 之间不存在自然序关系。 如下的序关系： 需要注意的是，由关系式 可以导出 但反过来不成立。例如 和 的序关系可以写成 但不能写成 。 定义5.3 考虑问题（5.3），设 。若不存在 ，使得 ，则称 是（5.3）的有效解， 又称Pareto解（这个概念是经济学家V.Pareto于1896年引入的）。所有有效解的集合称为有效解集，记作 或 。 ， ， 绝对最优解是从正面定义的，而有效解是从反面定义的。 为有效解的含义是，在容许集内找不到比 在“ ”意义下更好的解。 ，而 一般说来，有效解不是“最优的”，但可以说它是“不坏的”，因此有效解又称为非劣解。在多目标最优化理论中，这是一个最基本的概念。比有效解还差的“非劣”解是弱有效解。 定义5.4 考虑问题（5.3），设 。若不存在 ，使得 ，则称 是（5.3）的弱有 或 。 效解 。所有弱有效解的集合称为弱有效解集，记作 弱有效解也是从反面定义的。 为弱有效解的含义是，在容许集内找不到比 在“ ”意义下更好的解，也就是在 中找不到 ，使得 。 下面的几个定理描述了各种解之间的关系。 定理5.1 设 表示（5.3）中第 分量目标 函数 在 上的最优解集，则（5.3）的绝对最优解集 定理5.2 绝对最优解必是有效解。 证 设 ，则对 ，都有 这表明对于 ， ，即不存在 使得 ，故 。 。 ， 定理5.2表明 。 定理5.3 有效解必是弱有效解。 证 设 ，则不存在 ，使得 换句话说，对于 ，都有 。这 ，更有 ，即不存在 使得 ，故 。 表明对 ﹨ ， 定理5.3表明 。 。 定理5.4 各分量目标函数在 上的最优解必是弱有效解。 证 对于 ，设 ，则对 ，都 。从而不存在 ，使得 故 。 有 ， 定理5.4表明 。 推论5.5 综上所述，各种解集之间有如下关系： 定理5.6 若（5.3）的绝对最优解集 ，则它的 。 有效解集 定理5.7 若（5.3）的容许集 是凸集，且每个分量 在 上均是严格凸函数，则它的有效解集 目标函数 与弱有效解集相等。 例5.3 考虑多目标最优化问题 试验证： 。 解 容易验证， 和 都是容许集上的凸函数，它们的 和 。因为 根据定理5.1，绝对最优解集 。 最优解集分别为 ， 由于 和 在各自最优解集的左侧和右侧分别都是严格递减函数和严格递增函数（见图）， 5.4，不存在弱有效解。 所以在