第五章 留数 1.pptVIP

第五章 留数 §5.1 孤立奇点 §5.2 留数 §5.1 孤立奇点 1 可去奇点 2 极点 3 本性奇点 孤立奇点的定义 如果z0 是f (z)的一个奇点, 且存在d 0,使得 f (z)在 内解析，则称 z0 是f (z)的 孤立奇点. 根据洛朗级数中负幂项的系数cn的不同情况, 可以把 f (z)的孤立奇点进行分类. 若z0 是 f (z)的孤立奇点，则 f (z) 在某圆环域 内可以展开为洛朗级数 孤立奇点的分类 若z0 是 f (z)的孤立奇点，则 f (z) 在某圆环域 内可以展开为洛朗级数 若洛朗级数中不含负幂项, 则称z0是 f (z)的可去奇点. 若洛朗级数中只含有限多个负幂项, 则称z0是 f (z)的极点. 若洛朗级数中含无穷多个负幂项, 则称z0是 f (z)的本性奇点. 3、 典型例题 例1、将 在 内展开 内 成洛朗级数. 解： 因为 所以在 例2、将 在 内展开 内 成洛朗级数. 解： 因为 所以在 下列圆环域内展开成洛朗级数. 例3、 将函数 分别在 内 解（3）： 在 定理1.1　设 z0是 f (z) 的孤立奇点，那么 z0 是 f (z) 的可去奇点的充要条件是存在极限 其中c0是有限复常数. 1、可去奇点 则在 内 设 z0是 f (z)的可去奇点， 这个幂级数的收敛半径至少为d , 和函数在 z0 解析. 洛必达法则： 若 及 在 解析，且 则 2、极点 洛朗展开式中， 存在正整数m , 使得 而当整数 有 则称z0是f (z)的 m级极点. 若f (z)在 的 设 z0是 f (z)的极点， 其中 令 则 在 内解析，且 即 其中 在 解析，且 定理 1.2　设 z0是 f (z) 的孤立奇点，那么 z0 是 f (z) 的m级极点的充要条件是 f (z) 在 的 m为正整数. 推论 1.2　设 z0是 f (z) 的孤立奇点，那么 z0 是 f (z) 的极点的充要条件是 某去心邻域内可表为 其中 在点z0解析, 且 定义1.5 若不恒等于零的解析函数 f (z) 在　 　 的邻域内可表示成 　 m为正整数， 则称 为 f (z) 的 m 级零点.　 定理1.3 若f (z) 在 解析，则 为 的　 m 级零点的充要条件是　 定理1.4　设z0是f (z)的m级零点, 则z0是 的m级极点; 设z0是f (z)的m级极点, 则z0是 的 可去奇点（m级零点）. (零点与极点的关系) 其中 在点z0解析, 且 定义1.5 若不恒等于零的解析函数 f (z) 在　 　 的邻域内可表示成 　 m为正整数， 则称 为 f (z) 的 m 级零点.　 定理1.4　设z0是f (z)的m级零点, 则z0是 的m级极点; 设z0是f (z)的m级极点, 则z0是 的 可去奇点（m级零点）. (零点与极点的关系) 其中 在 解析，且 定理 1.2　设 z0是 f (z) 的孤立奇点，那么 z0 是 f (z) 的m级极点的充要条件是 f (z) 在 的 m为正整数. 某去心邻域内可表为 定理1.4　设z0是f (z)的m级零点, 则z0是 的m级极点; 设z0是f (z)的m级极点, 则z0是 的 可去奇点（m级零点）. (零点与极点的关系) 定理1.5 设 z0是 的m级零点, 是 的n级零点, 则当nm时, z0是f (z)的n-m级 极点; 而当n?m时, z0 是f (z)的可去奇点. 定理 　设 z0是 f (z) 的孤立奇点，那么 z0 是 f (z) 的本性奇点的充要条件是 不存在有限或无穷的极限 3、本性奇点 综上所述: 孤立奇点 可去奇点 m级极点 本性奇点 洛朗级数的特点 存在且为 有限值 不存在 且不为 无负幂项 含无穷多个负幂项 含有有限个负幂项 关于 的最高幂 为 4、函数在无穷远点的性态 如果函数f (z)在?点的邻域 内